机器算法验证 - 的行列式与方差有何关系？(X'X)(X′X) - 吾爱随笔录

我正在解决一个问题（实际上有答案），但我不知道为什么这是答案，有人可以解释这个平等吗？它与分区矩阵 $(X'X).$

令并令

X = [x_{0}, x_{1}, \dots, x_{k - 1}, x_{k}] = [W, x_{k}]

$X=[x_0, x_1, \ldots,x_{k-1},x_k]=[W,x_k]$

rank (X) = k + 1

$\operatorname{rank}(X)=k+1$

a.) 证明 $|X'X|=|W'W|(x_k'x_k-x_k'W(W'W)^{-1}W'x_k)$

分区矩阵相当明显

(X^{'} X) = (W, x_{k})^{'} (W, x_{k})

$(X'X)=(W,x_k)'(W,x_k)$ 行列式等于

| W^{'} W | (x_{k}^{'} x_{k} - x_{k}^{'} W (W^{'} W)^{- 1} W^{'} x_{k})

$|W'W|(x_k'x_k-x_k'W(W'W)^{-1}W'x_k)$

b 虽然更难。

b.) 从 a 推导出，用它来证明在通常的线性模型中 $|W'W|/|X'X|>1/x_k'x_k$ $y=X\beta + \epsilon, \operatorname{Var}(\widehat{\beta}_k)\geq\sigma^2(x_k,x_k)$

有了下面的信息，我可以解决这个问题，但是为什么下面的等式成立呢？

我强调的部分只是一个给定的，我不确定它是怎么回事，有人可以向我解释一下行列式和方差是如何联系起来的吗？