机器算法验证 - 的分布XX+ YXX+Y如果是独立的 Beta 随机变量X, YX,Y - 吾爱随笔录

的分布XX+ YXX+Y如果是独立的 Beta 随机变量X, YX,Y

机器算法验证分布贝塔分布

2022-04-12 22:56:34

设和是独立的随机变量。 $X \sim \text{Beta}(a,b)$ $Y \sim \text{Beta}(b,a)$

的分布是什么？会不会是 Beta 本身？ $\frac{X}{X+Y}$

1个回答

这种情况由 T. Pham-Gia 在“统计通信 - 理论和方法”第 29 卷，2000 - 第 12 期的“独立 beta 变量和应用的比率分布”中描述 - 第 12 期https://doi.org/10.1080/03610920008832632

对于变量你得到 $T = \frac{X_1}{X_1+X_2}$

f (t) = {\begin{cases} t^{α_{1} - 1} (1 - t)^{α_{1} + 1} \cdot B (α_{1} + α_{2}, β_{2}) \cdot_{2} F_{1} (α_{1} + α_{2}, 1 - β_{1}; α_{1} + α_{2} + β_{2}; \frac{t}{1 - t}) / A & for 0 \leq t < 1 / 2 \\ t^{- (α_{2} + 1)} (1 - t)^{α_{2} - 1} \cdot B (α_{1} + α_{2}, β_{1}) \cdot_{2} F_{1} (α_{1} + α_{2}, 1 - β_{2}; α_{1} + α_{2} + β_{1}; \frac{1 - t}{t}) / A & for 1 / 2 \leq t \leq 1 \end{cases}

$f(t) = \begin{cases} t^{\alpha_1-1}(1-t)^{\alpha_1+1}\cdot B(\alpha_1+\alpha_2,\beta_2)\cdot {_2F_1}(\alpha_1+\alpha_2,1-\beta_1;\alpha_1+\alpha_2+\beta_2;\frac{t}{1-t})/A & \text{for $0 \leq t < 1/2$} \\ t^{-(\alpha_2+1)}(1-t)^{\alpha_2-1}\cdot B(\alpha_1+\alpha_2,\beta_1)\cdot {_2F_1}(\alpha_1+\alpha_2,1-\beta_2;\alpha_1+\alpha_2+\beta_1;\frac{1-t}{t})/A & \text{for $1/2 \leq t \leq 1$ } \end{cases}$

其中和是一个超几何函数。 $A = B(\alpha_1,\beta_1)\cdot B(\alpha_2,\beta_2)$ ${_2F_1}$

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