在样条回归中，基扩展创建秩亏设计矩阵的情况并不少见，但众所周知，估计过程的惩罚解决了这个问题。我不知道如何表明惩罚意味着是肯定的。（我知道 PD 矩阵是可逆的。）
为了搭建舞台，我们寻求为了由基扩展给出. 收集基向量，我可以很容易地证明这种优化减少到
在哪里.
到目前为止，这是我的推理。我们知道是等级不足的，因为. 这意味着也是等级不足的；我还可以证明至少一个特征值是 0 并且它是半正定的。
但现在我被困住了，因为我不知道如何推理或表明是任何的 PD. 我知道是一个格拉姆矩阵，但这只能让我们证明是PSD。
表明PD是否等于表明是PD。（感谢 Matthew Gunn 在评论中指出这一点。）
这是因为是，在这种情况下，秩不足，因此 PSD。这是因为二次型因为我们可以将其重写为因为任何实数的平方都是非负的。所以我们有因为如果是 PD，那么， 数量是一个非负数和一个正数之和，它必须是正数。所以只要是 PD是PD。
所以我们需要推理. 它符合 Gram 矩阵的定义，因为它是由函数的标准内积给出的（在问题中有规定）。基函数是线性独立的（因为它们构成了一个基），因此是PD。
如果其列是独立的，则为 PD。我们可以写如果向量是线性相关的，那么我们有对于一些因为根据线性相关性的定义，以及由行列式的性质。
很容易证明这对任何人都是正确的; 所有相同的论点都适用，因为正数在乘法下是闭合的。