“这个问题可以扩展……”——完全正确。但是，当然，如果你想退后一步——每一种现象都是如此。每次你掷硬币时，它都会有一点凹痕，并改变出现正面的可能性。每次你投篮时，你的手臂都会更累一些（或者休息得更好一些），你进球的机会也略有不同。

作为一名应用统计学家，你工作的很大一部分是试图确定哪些事件足够相似以被视为相同。你永远不会有一群人吸毒，一群学生被测试，一群城市执行政策，完全一样。你工作的大部分内容是试图确定要控制什么，以便在你完成后，它们足够相似，可以给你一个有意义的答案。

在预测方面，您能做的最好的事情就是尝试对您认为足够相似的事物进行训练，然后进行测试。交叉验证的重点是检查数据和模型的内部 一致性。如果您可以对一些进行训练，并准确预测其余部分，那么一个可靠的解释是这两组数据“足够相似”。（假设你的模型是正确的，假设你的模型是正确的。）因此，对于观察到的数据，你可以通过交叉验证来评估预测的准确性。

但是对于看不见的未来，您问题的最佳答案只是“为了使预测正确，您必须假设明天的天气与预测模型所适用的所有天气的分布相同。” 任何关于接近程度的问题都取决于特定的模型和偏好。

这是一个很好的问题，也是一个常见的问题。您似乎感兴趣的属性是ergodicity。如果您感兴趣的随机过程是遍历的，那么（粗略地）您看到的这些“不同的日子”观察结果可以结合起来评估天气预报的成功程度；可以组合得出一些收敛结果。然而，如果这个过程没有表现出遍历性，那么——正如你所说——人们需要在同一天多次观察，看看这个降雨概率是否准确。遍历性很难用真实数据来验证，通常被认为是一种假设。

有关遍历性的严格但经验性的处理，请查看E. Zivot 的时间序列书的这一章。对于一个非常好的直观示例，请从 16:55观看此视频。

时间序列计量经济学处理类似的问题：如果和是时间序列变量，你应该相信这两个变量的线性回归吗？答案是“视情况而定”。$y_t$$x_t$

这取决于观察到的两个变量之间的关系在未来是否会继续存在。如果和都是非平稳的，那么观察到的关系将来可能会破裂。如果和都是平稳的，那么观察到的关系应该在未来成立。$y_t$$x_t$$y_t$$x_t$

这是一个模拟示例。变量和在设计上都是非平稳的。尽管回归模型表明观察到的关系很强（基于 p 值和），但超时是可怕的（模型远比使用平均值作为预测差）。$x_t$$y_t$$R^2$$R^2$

### create two non-stationary variables
set.seed(12345)

x <- 100 + cumsum(rnorm(1000))

y <- 200 + cumsum(rnorm(1000))

df <- data.frame(y=y, x=x)

### split between training and test

train <- df[1:800, ]  ## 80% train
test <- df[801:1000, ] ## 20% train

### linear regression

lm.mod <- lm(y~x, data=train)

summary(lm.mod)

### measure fit

library(caret)

in.sample.R2 <- R2(lm.mod$fitted.values, train$y, formula="traditional")
out.sample.R2 <- R2(predict(lm.mod, newdata=test), test$y, formula="traditional")

in.sample.R2
out.sample.R2

TLDR；预测未来很难。使用时间序列数据的线性回归可能极具误导性。根据连续时间保留一些数据（例如，保留时间序列的最后 9 个季度）。使用保留数据验证您的模型。