要关闭这个：

我们想要变量的pdf

$$Z = g(X) =\frac 1{X+1} \Rightarrow X = g^{-1}(Z)=\frac 1Z -1 \Rightarrow \frac {\partial g^{-1}(z)}{\partial z}=-\frac 1{z^2}$$

请注意，通过构造$0 \leq Z \leq 1$.

对数正态的密度是已知的。应用 我们得到的变量变化公式

$$f_Z(z) = \left|\frac {\partial g^{-1}(z)}{\partial z}\right|\cdot f_X(g^{-1}(z))$$

$$=\frac 1{z^2}\cdot\frac{1}{[(1-z)/z]\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{ \left\{-\frac{\left(\ln[(1-z)/z]-\mu\right)^2}{2\sigma^2}\right\}}$$

$$\Rightarrow f_Z(z) = \frac{1}{(1-z)z\sqrt{2\pi}\sigma} \exp{ \left\{-\frac{\Big(\ln[z/(1-z)]-(-\mu)\Big)^2}{2\sigma^2}\right\}}$$

这是带有参数的“logit-normal”分布的密度$\sigma$和$-\mu$.