指数族的特点是它们的密度，使得结果之间的相互作用$x$随机变量和参数$\theta$出现在指数标量积中，

$$\exp\{T(\theta)^\text{T} S(x)\}$$ 密度中的其他项是归一化常数$C(\theta)=\exp\{-\psi(\theta)\}$和一个函数$x$,$h(x)$，这是对主导措施的补充$\text{d}\nu(x)$. 但最重要的是产品$h(x)\text{d}\nu(x)$这可以看作是一个新的度量。$\text{d}\nu´(x)$

因此，在多项式示例中，项 可以被视为在或作为该集合上新度量的一部分。

$${n \choose x_1 \cdots x_m}=\frac{n!}{\prod_{i=1}^m x_i!}$$ $h(x_1,\ldots,x_m)$ $$\left\{(x_1,\ldots,x_m)\in\mathbb{N}^m;\sum_{i=1}^m x_i=n\right\}$$

我试图从头开始构建softmax回归，也被困在这里：为什么所有的帖子都默默地省略了系数完全，经过一些研究和思考，我在这里分享我的理解：$\frac{n!}{x_1! x_2! \dots x_k!}$

实际上，我们总是使用 k>2 和 n=1 的多项分布的特殊形式，分类，并且由于n，因此系数的多项分布的PMF将始终全为 1，这就是我们可以省略它的原因，更多细节：$k>2$$n=1$$n=1$$\frac{n!}{x_1! x_2! \dots x_k!}$

$$\begin{cases} \text{class 1 is chosen: } \frac{1!}{1! \cdot 0! \cdot 0! \dots 0!} = 1 \\ \text{class 2 is chosen: } \frac{1!}{0! \cdot 1! \cdot 0! \dots 0!} = 1 \\ \text{class 3 is chosen: } \frac{1!}{0! \cdot 0! \cdot 1! \dots 0!} = 1 \\ \vdots \end{cases}$$

要获得更多细节和更好的理解完整图片，您可以参考我的帖子GLM 和指数族分布 -> 为什么 PMF 没有系数

特别注意从本节在多项分布中代表什么$x_i$