两个独立的正态随机变量之和是正态的。因此，对于给定的固定$t$,

此外，增量的独立性继承自基础随机过程的增量独立性，您应该通过查看有限维分布和使用多元正态分布的属性来检查这一点。

对于相关性，我们可以得到之间的协方差$B(t)=B_t$和$X(t)=X_t$对于固定的 t，假设我们从原点开始以保持简单。

$COV(B_t,X_t)=E(X_tB_t)-E(X_t)E(B_t)=\frac{1}{\sqrt{2}}E((B_t)^2+B_tW_t)=\frac{1}{\sqrt{2}}E((B_t)^2)=\frac{t}{\sqrt{2}}$

最后两步是从独立的$B_t,W_t$并且事实上$Var(B_t|B_0=0)=t$， 分别。

相关性只是协方差除以标准差的乘积$X_t$和$B_t$， 哪个是$\sigma_{B_t}=\sqrt{t}=\sigma_{X_t}$所以相关性只是$\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.71$