不需要使用密度函数

积分 1 减去 CDF

当您有一个具有非负支持的随机变量时（即，该变量仅对正值具有非零密度/概率），您可以使用以下属性：$X$

$$E(X) = \int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x$$

类似的性质适用于离散随机变量的情况。

证明

由于，$1 - F_X(x) = P(X\geq x) = \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t$

$$\int_0^\infty \left( 1 - F_X(x) \right) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty P(X\geq x) \,\mathrm{d}x = \int_0^\infty \int_x^\infty f_X(t) \,\mathrm{d}t \mathrm{d}x$$

然后改变积分顺序：

$$= \int_0^\infty \int_0^t f_X(t) \,\mathrm{d}x \mathrm{d}t = \int_0^\infty \left[xf_X(t)\right]_0^t \,\mathrm{d}t = \int_0^\infty t f_X(t) \,\mathrm{d}t$$

认识到是一个虚拟变量，或者采用简单的替换和，$t$$t=x$$\mathrm{d}t = \mathrm{d}x$

$$= \int_0^\infty x f_X(x) \,\mathrm{d}x = \mathrm{E}(X)$$

归因

我使用了Wikipedia上期望值文章的特殊情况的公式部分来刷新我对证明的记忆。该部分还包含离散随机变量情况以及不存在密度函数的情况的证明。

结果延伸到$k$时刻$X$也是。这是一个图形表示：

针对概率逻辑的评论进行了编辑

请注意，，因此分布的概率小于，因此，并且您还需要来增加 cdf。$F(1)=0$$0$$1$$x \ge 1$$\alpha > 0$

如果您有 cdf，那么您需要具有像这样的连续分布的反积分或导数

$$f(x) = \frac{dF(x)}{dx}$$

反过来为。$F(x) = \int_{1}^x f(t)\,dt$$x \ge 1$

然后找到你需要找到的期望

$$E[X] = \int_{1}^{\infty} x f(x)\,dx$$

前提是存在。我会把微积分留给你。

我认为你的意思是$x\geq 1$，否则 CDF 是空的，如$F(1)=1-1^{-\alpha}=1-1=0$.

您对 CDF 的“了解”是它们最终接近于零作为论点$x$无限减少并最终接近一$x \to \infty$. 它们也是非递减的，所以这意味着$0\leq F(y)\leq F(x)\leq 1$对全部$y\leq x$.

因此，如果我们插入 CDF，我们会得到：

$$0\leq 1-x^{-\alpha}\leq 1\implies 1\geq \frac{1}{x^{\alpha}}\geq 0\implies x^{\alpha}\geq 1 > 0\implies x\geq 1 \>.$$

由此我们得出结论，支持$x$是$x\geq 1$. 现在我们还要求$\lim_{x\to\infty} F(x)=1$这意味着$\alpha>0$

为了计算出期望值的存在，我们需要：

$$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}E(X)=\int_{1}^{\infty}x\frac{\rd F(x)}{\rd x}\rd x=\alpha\int_{1}^{\infty}x^{-\alpha} \rd x$$

最后一个表达式表明，，我们必须有，这反过来意味着。这可以很容易地扩展以确定存在第个原始矩的值。$E(X)$$-\alpha<-1$$\alpha>1$$\alpha$$r$$E(X^{r})$