这是使用符号代数包的快速检查...

让与 pdf：$X \sim \text{Laplace}(\mu, \sigma)$$f(x)$

然后，前 4 个原始矩由下式给出：$E[X^i]$

我将mathStatica包中的Expect函数用于Mathematica。

值得注意的是，和原始时刻与上面答案中给出的不同。$3^\text{rd}$$4^\text{th}$

已经有一段时间了，看起来这个问题还没有得到答复。我会提供一个，希望我们可以将其标记为正确。我将使用维基百科页面的参数化按顺序回答问题

1. 对于的情况，前四个矩是：的二项式展开来关联非中心随机变量通常选择值以简化计算并建立解决方案。$\mu=0$

   $$\mathbb{E}(X)=0, \mathbb{E}(X^2)=2b^2 + \mu^2, \mathbb{E}(X^3)=0, and\ \mathbb{E}(X^4) = 24b^4.$$ $Y$$Y^k=(Xb+\mu)^k$$\mu=0$

2. 拉普拉斯像柯西一样有无限尾，支持是。$x \in (-\infty, \infty)$

3. 对于经验规则，我假设 OP 分别使用平均值的 \sigma、、 和2内的观测概率的简写。这些概率分别是：(0.75688, 0.94089, 0.98563) 到 5 个有效数字。$\sigma$$\mu$$2\sigma$$\mu$$2\sigma$$\mu$

计算期望值的几种不同方法是：

一个。直接积分（通常在符号改变的点$\mu$

湾。对矩生成函数进行次微分，设，得到第个矩。$m$$t=0$$m$

C。将拉普拉斯随机变量 (rv) 公式化为正态和指数随机变量的比例混合。然后使用条件期望。

注意，方法 (c) 仅比 (a) 更容易，前提是您知道正态和指数随机变量的矩——或者可以比直接计算拉普拉斯分布的矩更容易计算它们