为 x 的 Box-Cox 变换写参数 ,。问题中将响应视为随机向量的实现的数据的完整模型描述为$p_\lambda(x)$$x$$\lambda$$-\infty\lt\lambda\lt\infty$$(x_i,y_i)$$(y_i)$$(Y_i)$

这明确地有四个参数，只要存在至少三个不同的值和三个不同的值，所有这些参数都是可识别的。根据您对前面问题的回答，当没有一个值是独立于数据建立的（因此是根据数据估计的）时，您计算了四个参数。或中的任何一个（或两者）以其他方式建立——例如，如果是从单独的数据集计算的——那么它就不会被计算在内。${a, b, p_{\lambda_y}, p_{\lambda_x}}$$x_i$$y_i$$\lambda_x$$\lambda_y$$\lambda_y$

（根据对所做的分布假设，拟合模型可能涉及更多参数。对它们进行计数不受 Box-Cox 变换的影响。Box- 的一对一属性Cox 变换表示在没有变换时可识别的任何参数在应用变换时仍可识别。）$p_{\lambda_y}(Y_i)$

为什么要转换数据？

你问问题的尺度是多少？如果不是转换后的比例，则存在参数化问题。

一个例子可能会有所帮助。假设某个响应，并且您想比较两个独立总体进一步假设感兴趣的问题是，“这些人群的均值是否相等？” 在这种情况下，显而易见的事情是分析并估计。$Y \sim \log N(\mu, \sigma)$$Y$$\log y_{ij}$$\mu_1 - \mu_2$

不过，这并不能回答这个问题。 。您需要的是的置信区间。$E\{Y_i\} = \exp (\mu_i+\sigma_i)$$\mu_1-\mu_2 + \sigma_1-\sigma_2$

现在，如果您实际上对转换后的规模上的事物感兴趣，那么这些都不适用。它发生了：化学家和环境科学家对 pH 值感兴趣（以至于他们测量的是 pH 值而不是浓度。）$H^+$