最大值是$1/(p-1)$.

要看到这一点，首先请注意，所有非对角线项的矩阵的特征值都等于一个常数$x$是$1-x$（具有多样性$p-1$） 和$1+(p-1)x$. 什么时候$x \lt -1/(p-1)$，因此最小的特征值将是负的，这意味着矩阵不是正定的。因为最小特征值是条目的连续函数，所以我们可以找到一个正$\epsilon$这样当所有非对角线条目都在区间内时$[x, x+\epsilon]$（但不再彼此相等），最小的特征值保持负数。

现在假设$a \gt 1/(p-1)$. 环境$x=-a$, 选择一个$\epsilon$正如刚才所描述的那样，如果有必要，让它变得更小，但仍然是积极的，以确保$a - \epsilon \gt 1/(p-1)$. 假设非对角条目是独立生成的，所有条目位于区间内的概率$[-a, -a+\epsilon]$等于$(\epsilon / (2a))^{p(p-1)/2} \gt 0$，表明矩阵具有非正定的正概率。

这确立了$1/(p-1)$作为上限_$a$. 我们需要证明它就足够了。考虑任意对称$p$经过$p$矩阵$(a_{ij})$单位对角线且所有条目的大小小于$1/p$. 通过适当的感应$p$，并且凭借Sylvester 准则，足以证明该矩阵具有正行列式。使用第一行的行减少将这个问题简化为考虑 a 的符号$p-1$经过$p-1$条目的决定因素$(a_{ij} / (1 + a_{1i})$. 因为$-1/p \lt a_{1i} \lt 1/p$，这些显然小于$1/(p-1)$绝对值，所以我们是通过归纳来完成的。（基本情况$p=2$是微不足道的。）