使用贝叶斯方法确定概率质量函数 (PMF)

机器算法验证 可能性 贝叶斯
2022-03-24 13:18:11

例如,一个人试图确定来自他知道必须来自 3 种介质(A、B 和 C)之一的光源的光强度(单位:坎德拉)。根据他的经验,他为每种可能性分配了以下概率。

在此处输入图像描述

为了确定光强度,该人进行了一项实验。实验还不够好,因此根据他的经验,他再次将发出光的介质指定为“i”,因为真正的介质是“j”,如下表所示。

在此处输入图像描述

如果实验表明光源是介质 A,那么光强度的概率质量函数 (PMF) 是多少?

为了解决这个问题,我遵循了贝叶斯原理。鉴于 A 的先验估计为 0.2,我试图使用真实的中等概率来获得后验估计,但我得到的离散概率之和不等于 1。在这种情况下,PMF 是否必须总计为 1?

1个回答

真实媒体集(A,B,C)的后验概率是真实概率分布,以观察到的媒体(在您的情况下为 A)为条件。您只需应用贝叶斯定理左边第一项来自第二个表,即 第一个表的第二个,即和最后一个是使整个事物归一化的归一化,即

P(A true|A observed)=P(A observed|A true)P(A true)/P(A observed)
P(A observed|A true)
P(A observed|A true)=0.2
P(A true)
P(A true)=0.2
P(A observed)
P(A observed)=P(A observed|A true)P(A true)+P(A observed|B true)P(B true)+P(A observed|C true)P(C true)=0.2×0.2+0.5×0.5+0×0.3=0.29.
因此
P(A true|A observed)=0.04/0.29=0.14.