机器算法验证 - 对于 CLT 不适用的发行版，是否有“中央发行版”？ - 吾爱随笔录

对于 CLT 不适用的发行版，是否有“中央发行版”？

机器算法验证方差中心极限定理尺度不变性集中趋势

2022-03-29 15:41:55

中心极限定理大致表明，在采样过程的一组特定属性下，来自该样本的统计量分布将在分布上收敛到正态分布。

作为典型的例子，让我举个基本的中心极限定理：如果我们取 iid 样本 $X_1,X_2...$ 从分布 $f$ ，那么样本平均值将收敛于正态分布，如果

的平均值 $f$ 存在。
的方差 $f$ 存在。

我的问题是：

假使，假设 $f$ 没有方差，并且 iidsample 的样本平均值来自 $f$ 在分布上不收敛到正态分布。

是否存在该样本平均值在分布上收敛到其他（非正态）分布的情况？

换句话说，对于不收敛于正态分布的分布是否存在“中心极限定理”？

1个回答

史密斯第一条评论的维基百科链接中已经找到了答案。

问：是否存在这种样本平均值在分布上收敛到其他（非正态）分布的情况？

答：是的，如果一个分布是一个稳定分布，那么它是对以下类型总和的限制：

ζ_{n} = \frac{ξ_{1} + ξ_{2} + \dots + ξ_{n}}{B_{n}} - A_{n}

$\zeta_n = \frac{\xi_1 + \xi_2 + \dots + \xi_n}{B_n} - A_n$

与 $\xi$ 独立且同分布的随机变量， $B_n>0$ 和 $\vert A_n\vert<\infty$

分配法的类型 $\xi$ 让上述总和收敛到稳定分布（该分布的吸引力域）由 Gnedenko 和 Kolmogorov 的“独立随机变量和的限制分布”中的一个定理描述（1954 年翻译版中的第 175 页，链接通过谷歌）

定理 2.* 为了使分布函数 F(x) 属于具有特征指数的稳定定律的吸引力域 $\alpha$ ( $0 \leq \alpha \leq 2$ ) 是必要且充分的

1)
$\frac{F (- x)}{1 - F (x)} \to \frac{c_{1}}{c_{2}} as k \to \infty$ $\frac{F(-x)}{1-F(x)} \to \frac{c_1}{c_2} \qquad \text{as } k \to \infty$

2) 对于每个常数 $k>0$

$\frac{1 - F (x) + F (- x)}{1 - F (x k) + F (- k x)} \to k^{α} as k \to \infty$ $\frac{1 - F(x) + F(-x)}{1-F(xk) + F(-kx)} \to k^\alpha \qquad \text{as } k \to \infty$

*该定理归因于
- BV Gedenko 1939（没有在线版本ГНЕДЕНКО, Б. В. К теории областей притяжения устойчивых законов. Ученые записки МГУ, 1939, 2: 3）
- 和Doeblin 1940，请参阅免费提供的 pdf 中的定理 V。
https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Attraction_domain_of_a_stable_distribution给出了更准确的描述（与维基百科文章相比）

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