机器算法验证 - 界限磷（是, X)P(Y,X)和磷（是)P(Y)和磷( X)P(X)众所周知，以及X≥Y _X≥Y - 吾爱随笔录

机器算法验证可能性分布界限

2022-03-23 19:05:54

假设你知道两个随机变量的边际分布， $P(Y)$ 和 $P(X)$ . 联合分布有众所周知的界限 $P(X, Y)$ 使用此信息。

但是，假设你也知道 $P(X \geq Y) = 1$ . 这如何收紧界限 $P(X, Y)$ ? 我对边界特别感兴趣 $E[XY]$ ，其中两个变量都是连续的。

1个回答

更新：在 Nutz、Marcel 和 Ruodu Wang 的推论 2.4 中给出了一个明显的下限。“定向最优传输”。arXiv 预印本 arXiv:2002.08717 (2020)。

利用不等式约束的界限由下式给出

史密斯，伍尔科特。“给定 x ≤ y 和边际的二元分布不等式。” 统计理论与方法通讯 12.12 (1983): 1371-1379。

它通过限制 CDF继续进行。上限由下式给出 $P(X \leq x, Y \leq y) = H(x, y)$

m i n (P (X \leq x), P (Y \leq y)) .

$min(P(X \leq x), P(Y \leq y)).$

这是标准的 Frechet-Hoeffding 界。下，这个界限是尖锐的。 $P(X \geq Y) = 1$

下界是

P (X \leq x) - m a x (0, m i n (P (Y \leq y) - P (Y \leq x), P (X \leq y) - P (X \leq x))) .

$P(X \leq x) - max(0, min(P(Y \leq y) - P(Y \leq x), P(X \leq y) - P(X \leq x))).$

根据这篇论文，这个界限可能“定义了一个具有负密度的概率密度函数”。

我不知道如何获得上结果边界的“好”表示。在没有不等式约束的情况下，使用变量的分位数函数和对这个期望的明确界限是 $E[XY]$ $Q_X$ $Q_Y$

E [X Y]_{U} = \int_{0}^{1} Q_{X} (u) Q_{Y} (u) d u

$E[XY]_U = \int_0^1 Q_X(u)Q_Y(u)du$

和

E [X Y]_{L} = \int_{0}^{1} Q_{X} (u) Q_{Y} (1 - u) d u,

$E[XY]_L = \int_0^1 Q_X(u)Q_Y(1 - u)du,$

参见 Aronow、Peter M.、Donald P. Green 和 Donald KK Lee。“随机实验中方差的明显界限。” 统计年鉴 42.3（2014 年）：850-871。

，则上限是尖锐的，但可以改进下限。Nutz/Wang 论文中给出了这个下限。 $E[XY]_U$ $P(X \geq Y) = 1$

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