机器算法验证 - 在优惠券收集者的集体抽奖问题中，为什么概率随着样本的增加而降低？ - 吾爱随笔录

我儿子正在从他们的一张足球专辑中收集帕尼尼贴纸，总共有 472 个贴纸，您可以以 5 个为一组购买它们（这 5 个中没有重复）。你也可以一次性从帕尼尼购买任何 50 个，你显然想在最后做最后的 50 个。

我相信这是一次抽取多张优惠券的优惠券收集者的问题。一篇论文分析了这个问题并证明了它的概率分布。论文是：

“组图的收藏家问题”，Wolfgang Stadje，应用概率的进展，第 22 卷，第 4 期，1990 年 12 月。（不幸的是，未开放访问。）

从论文中，是所有贴纸的集合，是感兴趣的集合（其中），,, 我们从中画出替换的子集，每个包含个不同的贴纸。每个被选中的概率相等。那么是包含在集合的不同元素的数量，我们有以下概率分布： $S$ $A$ $A\subset S$ $l = |A|$ $s = |S|$ $\omega_1, \omega_2, \ldots$ $S$ $m$ $\omega \subset S$ $X_k(A)$ $A$ $\omega_1, \ldots, \omega_k$

P (X_{k} (A) = n) = (\binom{l}{n}) \sum_{j = 0}^{n} (- 1)^{j} (\binom{n}{j}) {[(\binom{s + n - l - j}{m}) / (\binom{s}{m})]}^{k} n = 0, 1, \dots, l

$P(X_k(A) = n) = {l \choose n}\sum_{j=0}^n (-1)^j {n \choose j} \left[{s + n - l - j \choose m} \bigg/ {s \choose m}\right]^k \quad\quad n = 0, 1, \ldots, l$

就我而言， $s=472$ ， $l=n=422$ 和 $m=5$ 。我正在研究随着购买更多贴纸包的分布如何变化。但是，概率不会像 $k$ 那样单调增加。

使用较小的值可以更清楚地看到（并计算出来），因此对于 $s=l=3$ 、 $n=2$ 、 $m=1$ 的概率为 0、2/3、2/3、14/27、10/27 $k=1,\ldots,5$ 。谁能告诉我我在做什么或在这里解释错误，或者为什么概率随着更多的包而减少，直觉上它应该趋于 1。

作为参考，我发现另一篇文章也处理了这个等式，但他们正在考虑 $s=l=n$ ，而这里的情况并非如此。