在“中值绝对偏差的替代方案”（Rousseeuw 和 Croux, J. Amer. Statistical Assoc , 88 (424), 1993, pp.1273-1283）和同一作者于 1992-1993 年发表的其他几篇论文中，Rousseeuw和 Croux 介绍了他们强大的规模指标$S_n$和$Q_n$. 它们为有限样本大小和正态分布的 Fisher 一致性提供校正因子。

特别是，他们发现校正因子$c$对于正态分布的 Fisher 一致性满足

$$\Phi\left(\Phi^{-1}(3/4)+c^{-1}\right)-\Phi\left(\Phi^{-1}(3/4)-c^{-1}\right) = \frac{1}{2}.\tag{1}$$ 言下之意，$c$是这样的，区间集中在$\Phi^{-1}(3/4)$并且有宽度$2 c^{-1}$正好覆盖正态分布概率质量的 50%。另一方面，根据定义或多或少$S_n$，我们有（对于任何分布） $$c^{-1} = \text{med}_X (\text{med}_Y \ \left\vert X - Y \right\vert),\tag{2}$$ 在哪里$\text{med}_Z$代表某个随机变量的中位数$Z$.

在模拟实验中，我发现$(1)$是真的，但我不明白这个论点是如何运作的，而且这篇论文也没有提供任何帮助。有人看到诀窍了吗？

我希望这个论点有时可以推广到其他发行版。确实（从实验中）似乎$X \sim \text{Exp}(\lambda)$， 我们有

$$F\left(F^{-1}(r)+c^{-1}\right)-F\left(F^{-1}(r)-c^{-1}\right) = \frac{1}{2}$$ 和$r \approx 0.6$（但对于 beta 分布，没有这样的公式）。是否知道这是否对任何人都正确$r$，如果是，那是什么$r$? 更一般地说，除了方程式还有其他方法吗$(2)$获得一个公式（可能是隐含的，例如$(1)$） 为了$c$对于非正态分布？