因为为底很方便，而且您是否可以自由缩放系数估计也没关系。$e$

的函数形式会改变你的解释力吗？不。$\frac{a^\mathbf{x\cdot b}}{1 + a^\mathbf{x\cdot b} }$

解释：

对于 softmax 函数，我在这里给出了基本相同的答案。

观察。因此：$e^ { \mathbf{x} \cdot \mathbf{b} \left( \ln a \right) } = a^ {\mathbf{x} \cdot \mathbf{b}}$

$$\frac{a^\mathbf{x\cdot b}}{1 + a^\mathbf{x\cdot b} } = \frac{e^\mathbf{x\cdot \tilde{b}}}{1 + e^\mathbf{x\cdot \tilde{b}} }$$

其中。因此，在 sigmoid 函数中不同的基数向量相同。$\tilde{\mathbf{b}} = \left( \ln a \right) \mathbf{b}$$e$$\mathbf{b}$

在二元回归中，可以使用任何cdf 将概率和以广义线性方式 如$\mathbb{P}(Y=1|\mathbf{x})$$\mathbf{x}$

$$\mathbb{P}(Y=1|\mathbf{x})=\Phi(\mathbf{x}^\text{T}\beta)$$

1. 逻辑 cdf，$\Phi(t)=1/\{1+1/e^t\}$
2. 概率 (正常) cdf,$\Phi(t)=\int_{-\infty}^t \varphi(x)\text{d}x$
3. log-log cdf,$\Phi(t)=\exp\{-\exp(-x)\}$

逻辑提供了一些优势，因为使条件回归成为指数族模型。

对于伯努利似然，方差是均值的函数，使得：

$$\text{var}(Y) = E(Y)(1-E(Y))$$

事实证明，一个 sigmoid 函数，也称为“反向链接”（用于逻辑回归）函数：$S(x) = \frac{\exp(x)}{1+\exp(x)}$具有以下属性：

$$\frac{\partial}{\partial x} S(X) = S(X)(1-S(X))$$

事实证明，该属性适用于所有使用指数族规范参数化的 GLM。