在单变量时间序列（或更一般地说，单个向量）上运行 PCA 没有意义。要对时间序列数据运行 PCA，您需要有一个多变量时间序列或多个单变量时间序列。有多种方法可以将单变量时间序列转换为多变量时间序列（例如小波或时频变换、时间延迟嵌入等）。例如，单变量时间序列的频谱图为您提供每个频率、每个时刻的功率。

假设我们有一个具有维/变量的多元时间序列。或者，我们可能有一组个单变量时间序列，其中每个时间点在时间序列中具有一些共同的含义（例如，相对于某个事件的时间）。在这两种情况下，都有时间点。有几种方法可以运行 PCA：$p$$p$$n$

1. 将每个时间点视为一次观察。维度对应于多变量时间序列的变量，或者对应于不同的单变量时间序列。维空间中有个点。在这种情况下，特征向量对应于跨维度/时间序列的瞬时模式。在每个时刻，我们将跨维度/时间序列的幅度表示为这些模式的线性组合。$n$$p$

2. 将多元时间序列（或每个单变量时间序列）的每个变量视为一个观察值。尺寸对应于时间点。维空间中有个点。在这种情况下，特征向量对应于时间基函数，我们将每个时间序列表示为这些基函数的线性组合。$p$$n$

鉴于上述情况，很明显为什么 PCA 对于单个单变量时间序列没有意义。要么你有观察和 1 个维度（在这种情况下，PCA 没有什么可做的），要么你有一个具有维度的观察（在这种情况下，问题完全不确定，所有解决方案都是等价的）。$n$$n$

当然，可以对单个时间序列进行 PCA。结果将是一个主成分，与原始系列相同。因此，从技术上讲，它会起作用，但毫无意义：您将在输出中获得输入序列。

这是一个 MATLAB 示例。我得到了一个随机序列的 PCA，然后将唯一的主成分与原始序列进行对比，以表明它是同一件事。我还向您展示了系列之间的差异（针对均值进行了调整）为零。

x=randn(10,1);
[~,score,~,~,~,mu]=pca(x);
scatter(x,score);
max(abs(x-score-mu))

ans =

   4.4409e-16

也许，“在单个时间序列上执行 PCA”意味着应用奇异谱分析 (SSA)，有时也称为时间序列的 PCA。在 SSA 中，多元数据由初始时间序列的滞后（移动）子序列构成。然后将 PCA（通常是 SVD，即没有居中/标准化的 PCA）应用于获得的多变量数据。

R中的示例：

library(Rssa)
s <- ssa(co2)
# Plot eigenvectors
plot(s, type = "vectors")
# Reconstruct the series, grouping elementary series.
r <- reconstruct(s, groups = list(Trend = c(1, 4), Season1 = c(2,3), Season2 = c(5, 6)))
plot(r)