机器算法验证 - 平稳 VAR(1) 模型的无条件均值和方差 - 吾爱随笔录

机器算法验证时间序列方差意思是向量自回归

2022-04-10 09:07:06

在尝试找到固定 VAR 模型的均值和方差的一般表达式时，我感到很困惑。我正在尝试为 VAR(1) 做这件事。我在文献中也找不到。谁能帮我？

2个回答

取方程两边的方差得到平稳意味着所以你需要求解矩阵方程应用 vec 函数，这可以重写（参见维基百科）为并使用标准方法求解给出的未知协方差。

y_{t} = ν + A_{1} y_{t - 1} + u_{t}

$y_t = \nu + A_1 y_{t-1} + u_t$

Var y_{t} = A_{1} Var y_{t - 1} A_{1}^{T} + Σ_{u} .

$\operatorname{Var}y_t = A_1\operatorname{Var}y_{t-1}A_1^T+\Sigma_u.$

Var y_{t} = Var y_{t - 1} = Γ_{0}

$\operatorname{Var}y_t =\operatorname{Var}y_{t-1}=\Gamma_0$

Γ_{0} = A_{1} Γ_{0} A_{1}^{T} + Σ_{u} .

$\Gamma_0 = A_1\Gamma_0 A_1^T+\Sigma_u.$

vec Γ_{0} = (A_{1} \otimes A_{1}) vec Γ_{0} + vec Σ_{u}

$\operatorname{vec}\Gamma_0 = (A_1\otimes A_1) \operatorname{vec}\Gamma_0 + \operatorname{vec}\Sigma_u$

vec Γ_{0} = (I - A_{1} \otimes A_{1})^{- 1} vec Σ_{u} .

$\operatorname{vec}\Gamma_0 = (I-A_1\otimes A_1)^{-1} \operatorname{vec}\Sigma_u.$ 所以你不需要从 MA表示中计算出无限和。

(\infty)

$(\infty)$

根据 Lütkepohl (2005), p. 14-15，如果我们有一个无条件均值是( （其中是维度的单位矩阵）和滞后的无条件协方差（即）是其中是误差项的协方差矩阵。则即可得到无条件方差 $K$

y_{t} = ν + A_{1} y_{t - 1} + u_{t},

$y_t = \nu + A_1 y_{t-1} + u_t,$

(I_{K} - A_{1})^{- 1} ν

$(I_K-A_1)^{-1}\nu$

I_{K}

$I_K$

K \times K

$K\times K$

h

$h$

Cov (y_{t}, y_{t - h})

$\text{Cov}(y_t,y_{t-h})$

\sum_{i = 0}^{\infty} A_{1}^{h + i} Σ_{u} {A_{1}^{i}}^{'}

$\sum_{i=0}^\infty A_1^{h+i}\Sigma_u {A_1^i}'$

Σ_{u}

$\Sigma_u$

u_{t}

$u_t$

h = 0

$h=0$ 在上面的表达式中。

在用它的替代维 VAR(1) 表示形式表达了过程之后，这同样适用于 VAR( $p$ $Kp$

这些结果是使用 VAR(1) 过程的矢量移动平均 (VMA) 表示获得的。

参考

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