之所以会出现这种差异，是因为 Gamma 分布有两种不同的参数化，并且每种参数化与逆 Gamma 分布的相关性不同。

在Wikipedia上，Gamma 分布的两个参数化通过使用来区分$(k,\theta)$和$(\alpha, \beta)$.

$$\text{If } X \sim \text{Gamma}(k, \theta) , \,\,\,\, f(x) = \dfrac{1}{\Gamma(k) \theta^k} x^{k-1} e^{x/\theta}\,.$$ $$\text{If } X \sim \text{Gamma}(\alpha, \beta) , \,\,\,\, f(x) = \dfrac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{x\beta}\,.$$

这里$\alpha$和$k$在 pdf 中完全一样，但是$\theta$是和$\beta$是不同的。$\theta$称为尺度参数，并且$\beta$称为速率参数。这两者之间的关系是$\beta = 1/\theta$.

如果$X \sim \text{Gamma}(\alpha, \beta)$在哪里$\beta$是速率参数，那么$1/X \sim IG(\alpha, \beta)$.

如果$X \sim \text{Gamma}(k, \theta)$， 在哪里$\theta$是尺度参数，那么$1/X \sim IG(k, 1/\theta)$.

在这两种情况下，IG 的 pdf 都是相同的。如果$Y \sim IG(\alpha, \beta)$，然后的pdf$Y$总是

$$f(y) = \dfrac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{-\alpha-1} e^{-\beta/x}.$$