假设你知道$\lambda_i$，仿真是可行的。

考虑

library(MASS)
k <- 3
lambda <- c(.2,.3,.4) # pick your lambdas here

reps <- 100000
distr <- rep(NA,reps)
for (i in 1:reps){
     distr[i] <- sum(lambda*rchisq(k,1))
}
distr <- sort(distr)

teststat <- 2 # pick your teststat here
pvalue <- which.min(abs(teststat-distr))/reps # assuming a left-tailed test

如此有效地，我们将测试统计量“插入”teststat到经验 cdf 中，即从模拟中找到实现的比例（在reps很大程度上，精确估计概率）来自零分布的随机变量取值较小（我们在这里考虑一个左尾检验，对其他替代方案进行了明显的修改）而不是检验统计量 - 即$p$-价值：

有两个有用的近似值和至少三个计算可以精确到无限精度算术。

让我们称之为分布$Q(\lambda)$. 和写$\bar\lambda$的平均值$\lambda$和$\tau$的平均值$\lambda^2$.

这两个近似值pchisqsum在 Rsurvey包中实现

Satterthwaite 近似是在实践中评估该分布的最常见方法。它近似$Q(\lambda)$经过$a\chi^2_d$在哪里$a$和$d$被选择以获得正确的均值和方差。具体来说，$a=\tau/\bar\lambda$， 和$d=k\bar\lambda^2/\tau$. 直到你在正确的尾巴中走得更远，萨特思韦特近似比它有任何权利要准确得多。此外，在常见的场景中，$\lambda$是矩阵的特征值，您不需要特征分解：您可以计算 Satterthwaite 近似值$O(k^2)$一般矩阵的时间和特殊结构的矩阵更快。

鞍点近似对于适度的尾部概率不太准确，但对于小的概率则要准确得多——它具有统一的有界相对误差，并且误差随着$k$增加。它是唯一适用于普通双精度算术的非常小的尾概率的算法。

有两种相当古老的计算方法运行良好。这些都包含在CompQuadFormR 的包中。当右尾概率接近机器 epsilon 时，它们都会产生灾难性的舍入误差，并且它们会大幅减速$k$.

• Farebrother 的方法将概率表示为 Beta 函数中的无限级数。它需要$\lambda$s 是积极的，并且对于大$k$最大的不能比其他的大得多。你可能会认为消极$\lambda$不重要，但它可以让你做同样的伎俩$F$具有相同分母的分布

• Davies 的方法利用了这样一个事实，即您可以只写下特征函数，然后可以通过数值积分将其反转

• 由于 Bausch，还有第三种计算方法，只要你有任意精度的算术，它在极端设置下就有很好的误差/努力范围。他发明它是为了解决弦论中的一个问题。它确实需要多精度算术。

Satterthwaite 近似也有一些改进

• 匹配两个以上的时刻。在我看来，这些并不是很吸引人：如果你拥有所有$\lambda$s 你不妨使用 Davies 或 Farebrother 的方法。如果$k$很大，你只有特征值是$\lambda$s，这些方法并不比完全特征分解快。

• 前导特征值近似。什么时候$k$很大，将总和近似为$\left(\sum_{i<m}\lambda_i Z_i\right)+a_m\chi^2_{d_m}$，其中最后一项是 Satterthwaite 近似，其中$k-m$最小特征值。

一个学生和我回顾了这些在大$k$案子; 我们有一篇博文和一篇论文。