机器算法验证 - 当一个事件是另一个事件的子集时添加两个事件的概率 - 吾爱随笔录

当一个事件是另一个事件的子集时添加两个事件的概率

机器算法验证可能性

2022-03-17 16:19:16

我正在尝试对明年发生的事件做出一些预测，但我对我正在使用的方法有疑问。

这是我正在处理的问题的一个程式化示例：

爱丽丝和鲍勃第一次跑马拉松。我对估计 p（Alice 或 Bob 完成比赛）和 p（Alice 和 Bob 完成比赛）以及 p（Alice 完成比赛）和 p（Bob 完成比赛）感兴趣。

我收集了一些关于 Alice 和 Bob 的体能、训练计划和首次参赛者完成马拉松的基本比率的信息。经过这项研究，我相信 p(Alice 或 Bob 完成比赛) = 0.75，并且 p(Alice 和 Bob 完成比赛) = 0.35

为了计算出 p（Alice 完成比赛）和 p（Bob 完成比赛），我正在考虑将我已经做出的两个概率估计相加，然后将两者之间的总概率分开（基于我的信息有关于他们）。所以这看起来像：0.75 + 0.35 = 1.10，分成 p(Alice) = 0.8 和 p(Bob) = 0.3

但是，鉴于第二个事件是第一个事件的子集，我不确定将 p(Alice 或 Bob) 和 p(Alice 和 Bob) 相加是否合适。这是进行预测的合适方法吗？

是否有另一种方法可以使用我掌握的关于 p(Alice 和 Bob)、p(Alice 或 Bob) 及其背景的信息来预测 p(Alice) 和 p(Bob)？

1个回答

包含-排除原理表明因此，你知道如果没有进一步的信息/假设，就不可能唯一标识或 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$ $P(A\cup B)+P(A\cap B)=P(A)+P(B).$ $P(A)$ $P(B).$

您在标题中使用了“条件”一词，但重要的是要注意这不是包含条件概率的问题。条件概率的形式是“在 Bob 完成的情况下 Alice 完成的概率是多少？” 它的符号是使用它的技术是贝叶斯规则，它只是一种特别突出的条件概率关系。 $P(A|B),$

Gung 的评论指出了使用条件概率识别和例如，如果我们知道，我们可以使用贝叶斯规则并且我们可以求解使用代数。 $P(A)$ $P(B)$ $P(B|A)$

P (B | A) = \frac{P (A \cap B)}{P (A)}

$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$

P (A)

$P(A)$

你评论说你正在假设独立。独立性被定义为意味着因为我们知道并且所以解set 是满足以下条件的点的集合： $P(A\cap B)=P(A)P(B).$ $P(A)+P(B)=P(A\cap B)+P(A\cup B)$ $P(A\cap B)=P(A)P(B),$

$P(A)\in [0,1]$
$P(B)\in [0,1]$
$P(B)P(A)=P(A\cap B)$
$P(A)+P(B)=P(A\cap B)+P(A\cup B)$

解决此问题的一个明显方法是将 (3) 和 (4) 中的线绘制为和的函数。十字路口就是答案。 $P(A)$ $P(B)$

关于独立性的一个警告：假设独立性是一个非常强的假设。当违反独立性假设时，结果通常不是“稍微错误”而是大错特错。

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