假设具有概率质量函数 ,和$X$$P(X=x) = q^{i-1}p$$i=1,2,...$$q=1-p$

证明其概率生成函数由。因此证明和$\pi(s)=\frac{ps}{1-qs}$$E(x)=\frac{1}{p}$$Var(X)=\frac{q}{p^2}$

大家好，我在做这个问题是为了考试练习，我似乎无法得到正确的答案。老实说，我只是机械地研究它，对概率生成函数没有很好的理解。

这是我所拥有的：

$$\pi(s)=E(S^X)=\sum^\infty_{i=0}q^{i-1}p\cdot s^i$$ $$= p\sum^\infty_{i=0}q^{i-1}\cdot s^i=p\sum^\infty_{i=0}\frac{q^i}{q}\cdot s^i$$ $$=\frac{p}{q}\sum^\infty_{i=0}(qs)^i$$

然后使用几何级数公式的总和，我得到：

$$=\frac{p}{q}(\frac{1}{1-qs})$$

现在我被困住了。我觉得我很接近，但只是错过了一些东西。一旦我可以通过这部分，我就可以得出预期值和方差。

作为补充，我想知道是否有人也可以给我一些关于概率生成函数的“白痴”解释，因为我正在努力从概念上理解它。似乎是因变量，但我的讲师没有解释它到底是什么。$s$

提前谢谢了！