这真的取决于你的需求。

然而，对于回归和其他“线性模型”问题（例如 GLM），标准选择是关于观察到的集合的正交多项式$x$值（通常在回归类型的上下文中称为“正交多项式”）。许多软件包都提供了它们（例如poly，在 R 中提供了这样的基础 - 您提供x和所需的程度）。

也就是说，如果$P$是得到的“x-matrix”（不计算常数列），其中列表示线性、二次等分量，然后$P^\top P=I$.

像这样：

> x=sort(rnorm(10,6,2))
> P=poly(x,4)
> round(crossprod(P),8)  # round to 8dp
  1 2 3 4
1 1 0 0 0
2 0 1 0 0
3 0 0 1 0
4 0 0 0 1

（如果你适当地规范化它，这个属性会扩展到常量列，但它通常保持原样，所以对角线$X^\top X$然后会有一个$1,1$的元素$n$而不是$1$.)

对于那组特定的 x 值*，它们看起来像这样：

与其他选择相比，这些具有许多明显的优势（包括参数估计不相关）。

一些可能对您有用的参考资料：

Sabhash C. Narula (1979)，
“正交多项式回归”，
国际统计评论，47 :1（四月），第 31-36 页

Kennedy, WJ Jr 和 Gentle, JE (1980)，
统计计算，Marcel Dekker。

* 万一有人关心示例中的特定值：

 x
 [1]  4.326638  4.458292  4.459983  4.574794  5.312988  5.380251  7.425735
 [8]  8.601912  9.189405 10.864584

正交多项式，通过构造带有权重函数$w(x)$, 所以正交性只有在引用时才有意义$w(x)$. 选择使用哪些正交多项式高度取决于您的领域。例如，勒让德多项式定义在$[-1,1]$而拉盖尔多项式定义在$[0,\infty)$.

首先，你必须定义什么是“最好的”。例如，如果您说最好的函数可以最小化最小二乘误差并且仍然是平滑的，那么您最终可能会得到三次样条基础。这完全取决于您的功能以及您对什么是“最佳”的理解。