这是一个很好的问题，因为虽然直观上相对简单（即，Kolmogorov-SmirnovD统计量的值与观察到的一样大或更大的可能性是多少？）所述概率的计算不是。

首先让我指出，应该区分双面测试和单面测试。我将重点介绍双边测试，因为它更常用。

好的，假设两个 CDF 之间的距离是$D_{m,n}$在哪里$m$和$n$是有关的样本量。这$p$-我们想要的价值是$P(D_{m,n} \geq D_{Obs} | H_0)$.$D_{Obs}$是我们观察到的$H_0$是两个人口分布是相同的，即。我们有来自同一人群的样本。显然，推导的精确零概率分布的关键是$D_{m,n}$. 这就是斯米尔诺​​夫在故事中出现的地方；他证明了[1]：

$lim_{n,m \rightarrow \infty} P( D_{Obs} \geq \sqrt{\frac{mn}{m+n}} D_{m,n} ) = L(D_{Obs})$在哪里： $L(D_{Obs}) = 1 - 2 \Sigma_i^\infty(-1)^{i-1}e^{2i^2 D_{obs}^2}$.

大多数时候人们实际上并没有与之合作$D_{Obs}$直接但使用反映影响的某些重新缩放参数$n$和$m$. 不言而喻，您不要直接评估上述无限级数。某些实现将前 100 个点相加，但即便如此，您也需要注意数值精度问题。Journal of Statistical Software on Evaluating Kolmogorov's Distribution有一篇非常不错的可免费访问的论文。过去，人们更多地依赖经验派生的表格（例如[2]）。

我的回答基于提到的英语论文以及Gibbons 和 Chakraborti的《非参数统计推断》一书（第 6 章）。

[1]：Smirnov, NV (1939)，两个独立样本中经验分布函数之间的偏差估计（俄语），莫斯科大学公报，2, 3-16。

[2]：Frank J. Massey, Jr. (1951)，Kolmogorov-Smirnov 拟合优度检验，美国统计协会杂志，卷。46，第 253 期，第 68-78 页