请填写标有a的详细信息$\star$. 首先，记住要证明$\mathrm{E}[X]$是有限的就足够了$\star$检查 $\mathrm{E}[|X|]$是有限的。对称$\star$表明

$$\mathrm{E}[|X|] = \int_{-\infty}^\infty \frac{|x|\, e^x}{(1+e^x)^2} \, dx = 2 \int_0^\infty \frac{x\, e^x}{(1+e^x)^2} \, dx \, .$$ 为了$x>0$， 我们有$\star$ $$\frac{x\,e^x}{(1+e^x)^2} < \frac{x\,e^x}{e^{2x}} = x\,e^{-x} \, .$$ 因此，如果我们让$Y$成为房车$\mathrm{Exp}(1)$分布，它遵循$\star$那$\mathrm{E}[|X|]<2\, \mathrm{E}[Y] = 2$.

（现在，听从@cardinal 的建议，大声而自豪地说：成功！）