我想我在看到红衣主教的建议并阅读了关于美白的维基百科页面后找到了答案。

$cov(X^*) = E[X^*X^{*T}]$

$= E[D^{-\frac{1}{2}}U^TXX^TUD^{-\frac{1}{2}T}]$

$D^{-\frac{1}{2}T} = D^{-\frac{1}{2}}$因为它是一个对角矩阵

$= D^{-\frac{1}{2}}U^TE[XX^T]UD^{-\frac{1}{2}}$

$= D^{-\frac{1}{2}}U^T\hat{\Sigma}UD^{-\frac{1}{2}}$

$= D^{-\frac{1}{2}}U^TUDU^TUD^{-\frac{1}{2}}$

这$U^TU = 1$因为 U 有单位长度。

$= D^{-\frac{1}{2}}DD^{-\frac{1}{2}}$

$= I$