在循环统计中，您的建议我们可以称之为弧距离损失，实际上是可以使用的已知损失函数之一。由于您提到的原因，它有效，并且直观地肯定比分类方法更明智。我想，它仍然被使用的原因是它规避了将预测完全视为循环。$\min((y−\hat{y})^2,(y−\hat{y}−2π)^2,(\hat{y}−y+2π)^2),$

在循环统计领域，一种可能更简单和更常见的方法是使用我们可以称之为余弦距离损失，其范围在 0 之间（当）和 2（当$1 - \cos(y - \hat{y}),$$y = \hat{y}$$y = \hat{y} + \pi).$

弧距损失与 Wrapped Normal 分布有关；余弦距离损失与 von Mises 分布有关。当然，圆（以及超球面）上的其他损失函数是可以想象和使用的，例如绝对误差损失的类似物。

一种常见的方法是让神经网络输出$u, v$表示角度$\hat \theta$这样$\cos(\hat \theta) = \frac{u}{u^2+v^2}$,$\sin(\hat \theta) = \frac{v}{u^2+v^2}$. 这避免了输出中的“边界”，这可能证明反向传播学习具有挑战性。

每次旋转$\theta$有一个相应的旋转矩阵，可以方便地用角度的正弦和余弦构造。

让$\hat R$是对应于预测角度的旋转矩阵，并且$R$是真正的旋转矩阵。然后$\text{tr}(R^T\hat R) = 2\cos (\hat \theta - \theta)$对于计算余弦距离损失很有用。方便的是，这种跟踪技巧也适用于 3D 旋转，即使旋转发生在多个坐标轴上。