机器算法验证 - 随机变量的几何平均值的定义是什么？ - 吾爱随笔录

尽管搜索了几个小时，但我还没有在网上找到任何定义：

所以事情是这样的：从某个随机变量中抽取的（iid）样本的几何平均值（GM）由下式给出：

GM (X_{1}, . . ., X_{n}) = \sqrt[n]{X_{1} \cdot . . . \cdot X_{n}}

$\text{GM}(X_1,...,X_n)=\sqrt[n]{X_1\cdot ...\cdot X_n}$

的预期几何平均值由下式给出 $n$

E (X_{1}^{1 / n} \cdot . . . \cdot X_{n}^{1 / n}) = {[E (X_{1}^{1 / n})]}^{n} .

$\mathbb E(X_1^{1/n}\cdot ... \cdot X_n^{1/n})=\left[E\left(X_1^{1/n}\right)\right]^n.$

所以我们可以看到（预期的）几何平均值取决于样本大小。 $n$

然而，像维基百科这样的一些来源谈论几何矩，例如这里：

但是，它没有定义；现在我很好奇几何平均/几何第一时刻的官方定义实际上是什么；是吗：

lim_{n \to \infty} {[E (X_{1}^{1 / n})]}^{n}

$\lim\limits_{n \to \infty}\left[E\left(X_1^{1/n}\right)\right]^n$

还是有其他定义？