机器算法验证 - 自变量比率的独立性 - 吾爱随笔录

自变量比率的独立性

机器算法验证分布卡方检验独立伽马分布

2022-03-27 19:04:36

如果和其中独立卡方变量分别随 df ，是和独立的？ $X= x_1/(x_1+x_2)$ $Y= (x_1+x_2)/(x_1+x_2+x_3)$ $x_1,x_2,x_3$ $n_1,n_2,n_3$ $X$ $Y$

我知道两个随机变量独立的条件和通常的方法，即使用联合分布。但是在上述问题中建立独立性有什么捷径吗？

2个回答

和是独立的，并且和 x_2) 是Gamma 分布的“众所周知”属性是独立的。例如，写作我们得到和确实是不同变量的函数（尽管和之间的独立性必须成立）。 $x_1/(x_1+x_2)$ $(x_1+x_2)$ $x_1+x_2+x_3$ $Y= (x_1+x_2)/(x_1+x_2+x_3)$

\begin{aligned} x_{1} & = {ϱ \sin (θ)}^{2} \\ x_{1} & = {ϱ \cos (θ)}^{2} \end{aligned}

$\begin{align*} x_1&=\{\varrho \sin(\theta)\}^2\\ x_1&=\{\varrho \cos(\theta)\}^2\\ \end{align*}$

X = \frac{{ϱ \sin (θ)}^{2}}{{ϱ \sin (θ)}^{2} + {ϱ \cos (θ)}^{2}} = \sin (θ)^{2}

$X=\frac{\{\varrho \sin(\theta)\}^2}{\{\varrho \sin(\theta)\}^2+\{\varrho \cos(\theta)\}^2}=\sin(\theta)^2$

Y = \frac{ϱ^{2}}{ϱ^{2} + x_{3}}

$Y=\frac{\varrho^2}{\varrho^2+x_3}$

ϱ

$\varrho$

θ

$\theta$

几何解释/直觉

您可以将卡方变量视为与独立的标准正态分布变量有关，而这些变量又与 n 球体上的均匀分布变量有关https://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere #Generating_random_points $x_1,x_2,x_3$

就像你可以把一个规则的球体切割成不同大小的圆一样，你可以把超球体切割成更低维度的超球体。

“圆上的点/角”的分布 “圆的（相对）平方半径”或 “嵌入该圆的球体的平方半径”。 $\frac{x_1}{x_1+x_2}$ $\frac{x_1+x_2}{x_1+x_2+x_3}$ $x_1+x_2+x_3$

您可以采用 n 球体（嵌入维度）并通过计算子球体面积的相对比率（具有半径和半径为球体。结果应该只取决于分数并且独立于或。 $n_1+n_2+n_3$ $f_X(x)$ $(n_1-1)$ $\sqrt{x_1}$ $(n_1-n_2-1)$ $\sqrt{x_1+x_2}$ $X=\frac{x_1}{x_1+x_2}$ $x_1+x_2$ $x_1+x_2+x_3$

请参阅此处类似（但更简单）的计算。

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