多元联合分布函数的一阶偏导数可以看作是给出了微分变量的密度，以及其他变量的累积概率。查看这种解释的一种简单方法是将偏导数转换为密度积分，并在其他维度上积分。根据微积分基本定理，我们可以将偏导数写为：

$$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial x} F_{X,Y} (x, y) &= \int \limits_{- \infty}^y f_{X,Y} (x, t) dt \\[6pt] &= \int \limits_{- \infty}^y f_{Y|X} (t|x) f_X(x) dt \\[6pt] &= \int \limits_{- \infty}^y f_{Y|X} (t|x) dt \times f_X(x) \\[6pt] &= \mathbb{P} (Y \leqslant y | X = x) f_X (x). \end{aligned}$$

这表明偏导数为我们提供了直线$Y \leqslant y, X = x$上的联合密度（在两个随机变量的二维空间内）。关于$y$的偏导数有类似的解释。

如果您在 xy 上获取联合 CDF 并仅通过其中一个变量推导出它 - 您将获得同一个变量的边际 PDF。

让我们使用两个 iid RV X 和 Y 的简单联合分布来证明 ~Expo(1)

一方面，我们可以通过联合 PDF 得到边缘 PDF： 最后一个方程简化为 e^(-x) 因为独立 y 的 PDF 积分为 1。

$$F_{XY}(x,y) = \iint_{XY} f_{XY}(x,y) dxdy = \int_{0}^{\infty }\int_{0}^{\infty } e^{-x}e^{-y}dxdy \\ f_{XY}(x,y) = \frac{\partial^{2} }{\partial x \partial y} F_{XY}(x,y) = e^{-x}e^{-y} \\ f_{X}(x) = \int_{Y}f_{XY}(x,y)dy = e^{-x} \int_{0}^{\infty } e^{-y}dy = e^{-x}$$

或者，我们可以直接从联合 CDF 到边缘 PDF：

$$f_{X}(x) = \frac{\partial }{\partial x} F_{XY}(x,y) = e^{-x} \int_{0}^{\infty } e^{-y}dy = e^{-x}$$

如果您不熟悉，边缘 PDF 基本上是 X 独立的 PDF，从 Y 中“释放”出来。