似然度是一个二变量函数$L(\theta,x)$.

对于固定$\theta$, 这个函数可以看作是$x$，这是一个分布：$x$对于这个固定$\theta$.

对于固定$x$, 这个函数可以看作是$\theta$，这不应该被认为是一种分布。大多数情况下，它不是正式的分布，因为它不等于 1。有时它可能正式地是分布并且和为 1（见西安回答），但它可以被认为是“意外”。

实际上，当我们使用“可能性”这个词时，我们通常暗示我们将其视为$\theta$对于固定$x$，因此说可能性不是分布是有道理的。

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贝叶斯推理是一种有用的方法，可以理解尽管它不是分布，但它与分布相关。在贝叶斯推理中，分布$\theta$对于固定$x$，称为后验，是：

$$p(\theta|x)=p(\theta)L(\theta,x)c(x)$$

在哪里：

• $p(\theta)$是先验的
• $L(\theta,x)$是可能性
• $c(x)$是一个归一化常数（这不是很重要）

可能性可以被认为是分布$\theta$对于固定$x$（实际上与它成正比）对于先验一致（常数）的特殊情况。通常，可能性不是后验，而是您将先验乘以得到后验的函数。它在定义分布（后验）而不是分布方面起着关键作用。

关于可能性和概率密度之间的一般和一般区别，请检查CV 上的这个问题，因为它有相当详细和有用的答案。加上有关 mathoverflow 的另一个问题。

对于可能性$\ell(\theta|x)$ 要成为概率分布，或者更准确地说是概率分布的密度，它需要满足

$$\int_\Theta \ell(\theta|x)\text{d}\theta=1\quad\forall x\in\mathcal{X}\qquad\qquad(1)$$ 在满足之上 $$\int_\Theta \ell(\theta|x)\text{d}x=1\quad\forall\theta\in\Theta\qquad\qquad(2)$$ 这是一种情况，当$x$和$\theta$在位置族中可以互换 $$\ell(\theta|x)=f(x-\theta)\qquad x,\theta\in\mathcal{X}=\Theta$$ 但不是规模家庭 $$\ell(\theta|x)=g(x/\theta)/\theta\qquad x,\theta>0$$ 由于归一化因子$1/\theta$. 然而，这是我回答的核心，即这个问题没有一般意义，变量从$(x,\theta)$至 $$(y,\xi)=(\log x,\log \theta)$$ 将比例族转换为属性所持有的位置族。

这突出了属性（1）在很大程度上取决于参数化选择的主要问题 $\theta$的分布$X$：可能性通过重新参数化是不变的，因此不像概率密度那样包括用于变量变化的雅可比行列式。因此，如果 (1) 对参数化成立$\theta$它不适用于另一个参数化$\xi=h(\theta)$.

因此，一个新的问题是是否可能存在发生（1）的参数化，但这不太可能，特别是在考虑到$\ell(\theta|x)$关于样本的大小$x$. 对于指数族，这基本上对应于等于其拉普拉斯变换的函数的存在。虽然这给问题的措辞带来了另一个困难，但没有具体说明在$\mathcal{X}$和$\Theta$：如果这些是免费的（并且它们应该是$\Theta$在贝叶斯设置之外），那么有更多的机会得到肯定的答案。