将连续数据的相关性转换为 Cohen's d 时的解释

机器算法验证 r 荟萃分析规模效应

2022-03-30 19:42:25

一本流行的元分析教科书 (1) 讨论了如何将相关性转换为 Cohen 的（即标准化均值差）： $r$ $d$

我对如何解释结果感到困惑，不知道比较的两个“组”对应的是什么。我可以为这个公式 (2) 找到的推导是针对点双列相关，即 Pearson 的相关性是在已经二分法的上计算的，而不是在上面的文本（突出显示）清楚地说明的连续数据上计算的。 $d$ $X$

因此，我进行了以下模拟，其中我构建了双变量正态数据，对进行了中位数拆分（因为这些公式假设组大小相等），然后将我使用二分数据计算进行比较我通过转换连续和的相关性获得： $X$ $d$ $d$ $X$ $Y$

# convert Cohen's d to r
# assumes equal sample sizes in each group
# see Borenstein text
d_to_r = Vectorize( function(d) {
  d / sqrt(d^2 + 4)
}, vectorize.args = "d" )

# this is the inverse of above, so also needs equal sample sizes
r_to_d = Vectorize( function(r) {
  (2 * r) / (1 - r^2)
}, vectorize.args = "r" )

# generate bivariate normal X and Y
library(MASS)
N = 100000
cor = matrix( c(1, 0.5, 0.5, 1), byrow = TRUE, nrow=2 )
data = as.data.frame( mvrnorm( n = N, mu = c(0, 0), Sigma = cor ) )
names(data) = c("xc", "y")

# dichotomize X
# Borenstein does not say WHERE to dichotomize
# but for equal group sizes, we would need to use median
cutoff = median(data$xc)  # should be almost 0
data$xb = ifelse( data$xc < cutoff, 0, 1 )

##### Method 0: True Cohen's d Using Dichotomized X

# with metafor (using bias correction)
library(metafor)
ES = escalc( m1i = m1, m2i = m0, n1i = n1, n2i = n0,
             sd1i = sqrt(sig2.1), sd2i = sqrt(sig2.0), measure = "SMD" )
( d.real = ES$yi[1] )

# sanity check: manually (without slight bias correction)
sig2.0 = var( data$y[ data$xb == 0 ] )
sig2.1 = var( data$y[ data$xb == 1 ] )
n0 = sum( data$xb == 0 )
n1 = sum( data$xb == 1 )
m0 = mean( data$y[ data$xb == 0 ] )
m1 = mean( data$y[ data$xb == 1 ] )

num = (n0 - 1) * sig2.0 + (n1 - 1) * sig2.1
denom = n0 + n1 - 2
sig.pool = sqrt( num / denom )
( d.man = (m1 - m0) / sig.pool )


##### Method 1: Borenstein's Transformation on Correlation Using Continuous X
rc = cor( data$xc, data$y )


##### Method 2: Borenstein's Transformation on Correlation Using Binary X
rb = cor( data$xb, data$y )

##### Compare Them
d.real; r_to_d( rc ); r_to_d( rb )
# MIDDLE ONE IS HORRIBLE.

该模拟表明，点双列相关 ( ) 的转换与二分数据 ( )rb中的“真实”科恩一致，而连续数据 ( ) 的相关转换则完全不同。（当然，无论如何这两种转换都不可能起作用，因为这两种相关性显然不等价。） $d$ d.realrc

我的问题：教科书在说什么？也就是说，在什么情况下，您可以将在连续数据上计算的相关性转换为 Cohen 的的精确解释是什么？ $d$ $d$

参考

Borenstein, M., Hedges, LV, Higgins, J., & Rothstein, HR (2009)。元分析导论。约翰威利父子公司
McGrath, RE 和 Meyer, GJ (2006)。当效果大小不一致时：r 和 d 的情况。心理学方法，11（4），386。

1个回答

你遇到了我的一个私人问题。我认为书中给出的解释（基于两个连续变量的相关系数的 r 到 d 转换值）没有任何意义。这里没有发生明确或隐含的二分法（以及哪个变量，第一个还是第二个？以及在什么时候二分法？），我从未见过任何适当的分析证明这种解释是合理的。

在另一个方向上，将 d 转换为 r 是完全有意义的，只要我们意识到转换会产生点双列相关系数（不是双变量正态分布或其他一些双变量分布的 Pearson 积矩相关系数）两个连续变量）。准确地说，转换的正确方程是其中和。书中的公式 7.7 并不完全正确，尽管差异通常很小。一个例子：

r_{p b} = \frac{d}{\sqrt{d^{2} + h}},

$r_{pb} = \frac{d}{\sqrt{d^2 + h}},$

h = \frac{m}{n_{1}} + \frac{m}{n_{2}}

$h = \frac{m}{n_1} + \frac{m}{n_2}$

m = n_{1} + n_{2} - 2

$m = n_1 + n_2 - 2$

grp <- c(0,0,0,0,1,1,1,1,1,1)
out <- c(2,4,3,4,2,3,5,4,5,5)
cor(grp, out) ### point-biserial correlation

这产生：

[1] 0.3340213

首先，我们计算标准化均值差：

m <- c(by(out, grp, mean))
v <- c(by(out, grp, var))
n <- c(by(out, grp, length))
vp <- ((n[1] - 1)*v[1] + (n[2] - 1)*v[2]) / (n[1] + n[2] - 2)
d <- (m[2] - m[1]) / sqrt(vp)

精确转换：

m <- n[1] + n[2] - 2
h <- m/n[1] + m/n[2]
d / sqrt(d^2 + h)

这产生：

[1] 0.3340213

正如它应该。现在试试 Borenstein 等人的方程式：

a <- (n[1] + n[2])^2 / (n[1]*n[2])
d / sqrt(d^2 + a)

这产生：

0.3021478

不太对。

此外，这种转换并不假定“一个连续变量被二分法来创建治疗组和对照组”。（第 49 页）。不需要这样的假设。当我们要将广告价值转换为双序列相关系数时，假设（连续变量被二分法）发挥作用。看：

Jacobs, P. 和 Viechtbauer, W. (2017)。用于荟萃分析的双序列相关性及其抽样方差的估计。研究合成方法，8（2），161-180。doi:10.1002/jrsm.1218

第 49 页的最后一段也很成问题。它表明我们可以向任何方向转变措施。但是对转换后的度量的解释非常可疑（例如从两个连续变量的相关性到 d 的情况）。此外，这种转换措施的抽样方差通常比本段所暗示的要复杂得多。例如，如果您执行 d-to-r-to-z（因此，从标准化均值差到点双列相关，然后应用 Fisher 的 r-to-z 变换），则结果值的抽样方差不是_ $1/(n-3)$ . 当 r 是两个连续变量（二元正态）之间的相关性时，适用 r 到 z 的转换，这里不是这种情况。这方面的另一篇相关文章是：

普斯特乔夫斯基，JE（2014 年）。当设计使用极端组、二分法或实验控制时，从 d 转换为 r 到 z。心理方法，19（1），92-112。

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