对于几乎所有变量，您都可以选择使用固定或随机效应对它们进行建模。我个人觉得随机效应这个术语相当混乱，因为随机效应通常只是我们试图控制的分组因素。它们始终是分类的，因为您不能强制 R 将连续变量视为随机效应。很多时候，我们对它们对响应变量的影响并不特别感兴趣，但我们知道它们可能会影响我们看到的模式。

我对locationsor之间的区别不感兴趣date，只有X. 事实上，我想控制两者之间的差异，location并date更好地理解X对我的反应的影响。将location和date视为随机效应会实现这一点吗？

将日期和位置作为分组因素（=随机效应）将完全实现您在问题中概述的内容。

但是为什么不把location和date当作固定变量呢？

Response ~ X + location + date + (1|pair)

这仍然会将 的影响location和date的影响分开X，那么为什么将它们作为随机变量呢？如果我将它们作为固定效果，我将能够测量它们的效果X，那么为什么要使用随机效果呢？

这第二部分并不完全正确。您不是在测量location和dateon的影响，X而是在估计location,date或X单独的影响，同时保持其他两个不变。它还增加了更多的自由度，这对于小样本量可能是不可取的。

是的，当您将位置和日期作为自变量包括在内时（如在您的公式中），您将它们的影响与 X 分开。

但是，您确实希望确保您的公式中没有遗漏影响因变量的变量。如果您缺少变量，那么您获得的 X 的影响可能不是 X 单独的纯粹影响。

顺便说一句，您描述的随机效应听起来很像Bootstrap Aggregation的简单版本，用于减少方差和过度拟合。

是的，所提出的混合模型将分离可变性的来源，将固定效应 ( ) 与嵌套变量和X组合的随机效应分开。location/pairdate

本质上，引入随机效应的作用是识别可变性的来源，通过估计它们，您可以将其与误差项分开，误差项用于对固定效应（可能是研究对象）进行假设检验。这是通过使用等于零但非零方差的期望值对它们进行建模来实现的，可能具有某种结构。相同随机效应的响应将是相关的。

对于一个固定效应和一个随机效应，，其中对应于设计矩阵固定效应和到随机效应，假设和。的期望值为E，您可以对其估计量进行假设检验，方差为，识别可变性的来源，第一个是噪声，第二个是随机效应。$Y_{ij} = \mu + \alpha_i+\beta_j+\varepsilon_{ij}=X\alpha_i+Z\beta_j+\varepsilon_{ij}$$X$$Z$$\varepsilon_{ij}\thicksim N(0,\sigma_\varepsilon^2)$$\beta_j \thicksim N(0,\sigma_\beta^2)$$Y_{ij}$$E(Y_{ij})=\mu+\alpha_i$$Var(Y_{ij})=\sigma_\varepsilon^2+\sigma_\beta^2$