我不是专家，但我会草拟一个标准的论点，在拉斯穆森和威廉姆斯的第 4 章第 2.1 节中有更详细的解释（那本书回答了我关于 GP 的大量问题）。所以我们正在使用平方指数函数，对吗？我们有：

$$K_{i,j}= \alpha \cdot \mathrm{exp}(\frac{-(x_i-x_j)^2}{2\ell^2}) = \alpha \cdot \mathrm{exp}(\frac{-(|x_i-x_j|)^2}{2\ell^2})$$

因为内核可以写成，它是静止的（各向同性的，偶数）。由于它是静止的，因此我们可以将 Bochner 定理应用于。在这种情况下，显示平方指数的正半定性简化为找到合适的函数，我们可以对其进行傅里叶变换使得。现在高斯的傅里叶变换是另一个高斯，所以我们正在寻找的函数原来是 $|x_i-x_j|$$K_{i,j}$$S(s)$$\mathcal{F}_s$$\mathcal{F}_s(S(s))=K_{i,j}$$S(s)$

$$S(s) = \alpha (2\pi \ell^2)^{D/2} \mathrm{exp}(−2\pi^2 \ell^2s^2).$$ 如果你计算这个函数的傅里叶变换，你会得到你的内核，从而显示它是半正定的。如果这太简洁了，我很抱歉，但如果有帮助，我可以尝试获取更多细节。

这里还有另外3个证明： 如何证明径向基函数是核？

请注意，“平方指数”内核也称为“径向基函数”（RBF）内核和“高斯”内核。