简单的例子：让是一个随机变量，它是或，概率为 0.5。然后让是一个随机变量，如果则随机或概率为 0.5 。$X$$-1$$+1$$Y$$Y=0$$X=-1$$Y$$-1$$+1$$X=1$

显然和是高度依赖的（因为知道可以让我完全知道），但它们的协方差为零：它们的均值为零，并且$X$$Y$$Y$$X$

$$\eqalign{ \mathbb{E}[XY] &=&(-1) &\cdot &0 &\cdot &P(X=-1) \\ &+& 1 &\cdot &1 &\cdot &P(X=1,Y=1) \\ &+& 1 &\cdot &(-1)&\cdot &P(X=1,Y=-1) \\ &=&0. }$$

或更一般地，对所有 X 取任意分布和任意使得即联合分布为围绕轴对称），并且您将始终具有零协方差。 ，你就会有非独立性；即，条件并不都等于边际。或同上围绕轴对称。$P(X)$$P(Y|X)$$P(Y=a|X) = P(Y=-a|X)$$X$$x$$P(Y|X) \neq P(Y)$$y$

这是我经常给学生举的例子。采用 和的随机变量，例如，均值为零的正常随机变量。取。很明显和是相关的，但是$X$$E[X]=0$$E[X^3]=0$$Y=X^2$$X$$Y$

$$Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]\cdot E[Y]=E[X^3]=0.$$

下图（来源Wikipedia）在第三行有许多示例，特别是第一个和第四个示例具有很强的依赖关系，但相关性为 0（和协方差为 0）。

其他一些示例，考虑形成圆形或椭圆形的数据点，协方差为 0，但知道 x 可以将 y 缩小为 2 个值。或者正方形或矩形中的数据。此外，形成 X 或 V 或 ^ 或 < 或 > 的数据都将给出协方差 0，但不是独立的。如果 y = sin(x)（或 cos）且 x 覆盖整数倍的周期，则 cov 将等于 0，但知道 x 你知道 y 或至少 |y| 在椭圆、x、< 和 > 情况下。