机器算法验证 - 随机变量模的方差 - 吾爱随笔录 - 问答

随机变量模的方差

机器算法验证可能性分布方差参考

2022-04-06 02:51:47

让 $X$ 是具有均值的随机变量 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ . 方差的上限是多少 $Y=\left|X\right|$ ?

我的直觉告诉我 $\operatorname{Var}(Y) \leq \operatorname{Var}(X)$ 因为“模数”是一个多对一的函数。

注意：- 很容易看出，如果 $X$ 只取正值， $\operatorname{Var}(Y) = \operatorname{Var}(X)$

2个回答

所以

var (| X |) = E (X^{2}) - E (| X |)^{2} .

$\def\var{\text{var}} \var\bigl( |X| \bigr) = E\left(X^2\right) - E\bigl( |X| \bigr)^2.$ 你知道怎么写

E (X^{2})

$E(X^2)$ 按照

μ

$\mu$ 和

σ

$\sigma$ .

现在定义一个新的随机变量 $X^+$ 经过 $X^+ = X$ 如果 $X>0$ ，和 $X^+=0$ 如果 $X\le 0$ ; 同样让 $X^- = X$ 如果 $X < 0$ 和 $X^-=0$ 如果 $X\ge 0$ .

假设两者 $E\left(X^+\right)$ 和 $E\left(X^-\right)$ 存在，证明

var (| X |) = var (X) + 4 E (X^{+}) E (X^{-}) .

$\var\bigl( |X| \bigr)= \var(X) + 4E\left(X^+\right)E\left(X^-\right).$

证明这是 $\le \var(X)$ ，并检查边界是否紧密。

我们知道

X \leq | X | \Rightarrow E (X) \leq E (| X |) \Rightarrow E (X)^{2} \leq E (| X |)^{2}

$\;\;\;\;X \leq |X|\\ \Rightarrow E\big(X\big) \leq E\big(|X|\big)\\ \Rightarrow E\big(X\big)^2 \leq E\big(|X|\big)^2$

在上面使用

var (| X |) = E (X^{2}) - E (| X |)^{2} .

$\def\var{\text{var}} \var\bigl( |X| \bigr) = E\left(X^2\right) - E\bigl( |X| \bigr)^2.$

我们得到

var (| X |) \leq E (X^{2}) - E (X)^{2} = var (X)

$\var\bigl( |X| \bigr) \leq E\left(X^2\right) - E\bigl( X \bigr)^2 = \var(X)$

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