机器算法验证 - 正态随机变量的二次变换的密度 - 吾爱随笔录

正态随机变量的二次变换的密度

机器算法验证分布正态分布多元分析

2022-04-02 06:16:26

考虑正态分布的随机向量

X \sim N (μ, Σ)

$X \sim \mathcal{N}(\mu, \Sigma)$ 什么是分布

Y = f (X)

$Y = f(X)$ ?

对于一般 $f$ 这是一个具有挑战性的问题，但对于仿射线性情况

f (x)_{i} = c_{i} + L_{i j} x_{j}

$f(x)_i = c_i + L_{ij}x_j$ 和

c

$c$ 一个向量和

L

$L$ 一个矩阵。我们知道这有一个很好的封闭形式。实际上，

Y

$Y$ 再次作为多元正态分布。

Y \sim N (c + L μ, L Σ L^{T})

$Y \sim \mathcal{N}(c + L\mu, \;L\Sigma L^T)$

现在考虑下一个最简单的情况。考虑到 $f$ 不是线性的，而是二次的。IE

f (x)_{i} = c_{i} + L_{i j} x_{j} + H_{i j k} x_{j} x_{k}

$f(x)_i = c_i + L_{ij}x_j + H_{ijk} x_jx_k$ 和

c

$c$ 一个向量，

L

$L$ 一个矩阵和

H

$H$ 一个三阶张量。

的密度是否存在封闭形式的表达式 $Y$ ?

2个回答

这种转变的时刻可能可以在第二节中找到。Kollo 和 von Rosen (2005)的 2.2.3 。这种变换已用于一些多变量模拟。我知道有一本关于多元分布多项式的书，但我还没有看过，不知道你是否能够在那里找到这种变换密度的封闭形式表达式。在单变量情况下，您会得到（缩放和移位的）非中心 $\chi^2$ 分布，并且它的密度表达式有些笨拙（贝塞尔和超几何函数，或泊松加权伽马分布的无限系列）。

此处回答了一个相关问题。对于那个问题，重点是特定的二次形式（平方欧几里得范数），但这也必须是首先要考虑的事情之一。

推荐的参考书是 Mathai 和 Provost（1992 年，Marcel Dekker, Inc.）的《随机变量中的二次形式》一书，但我不记得它到底有多笼统，我没有这本书，而且有没有谷歌预览。

具有一般性的范数的结果 $\mu$ 和 $\Sigma$ 清楚地表明密度没有简单的封闭形式表达。

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