MSE 测量误差的方差。需要明确的是——这是模型误差的方差，而不是数据的方差。您可以通过查看看到这一点。给出观测值和拟合值之间的平方差。来拟合线性回归模型。从高斯-马尔可夫定理，我们知道最小化（即使用“普通最小二乘”估计量）给出系数的最佳线性无偏估计量，其中“最佳”意味着具有最低方差的估计量。$SSE = (y_i - f(x_i))^2$$SSE$$MSE$$MSE$

因此用于计算 OLS 回归模型的算法取决于的使用，它估计模型误差的方差（而不是数据的方差），并给出模型系数的最佳线性无偏估计量（假设假设回归，期望为 0 且方差相等的不相关误差得到满足）。因此，没有一种直接的方法可以交换不同的方差估计，而且它可能不是您想要的（同样，数据方差与模型误差方差）。此外，使用不同的方法将导致估计系数不比通过 OLS 回归（基于 MSE）获得的系数更好。$MSE$

值是回归模型中的误差方差，您帖子中的方差结果是 OLS 系数估计器的潜在方差的结果：$\sigma^2 = \mathbb{V}(\varepsilon_i)$

$$\mathbb{V}(\hat{\boldsymbol{\beta}}) = \sigma^2 (\mathbf{x}^\text{T} \mathbf{x})^{-1}.$$

由于你可以使用随机向量方差的普通规则来获得$\hat{y}(\mathbf{x}_0) = \mathbf{x}_0^\text{T} \hat{\boldsymbol{\beta}}$

$$\mathbb{V}(\hat{y}(\mathbf{x}_0)) = \mathbb{V}(\mathbf{x}_0^\text{T} \hat{\boldsymbol{\beta}}) = \mathbf{x}_0^\text{T} \mathbb{V}(\hat{\boldsymbol{\beta}}) \mathbf{x}_0 = \sigma^2 \cdot \mathbf{x}_0^\text{T} (\mathbf{x}^\text{T} \mathbf{x})^{-1} \mathbf{x}_0.$$

然后，置信区间的公式来自以下关键量：

$$\frac{\hat{y}(\mathbf{x}_0) - \mu_0}{\hat{\sigma}/df_{Res}} \sim \text{Student's T}(df_{Res}),$$

其中和是线性回归中的标准偏差校正 MLE。现在，如果你愿意，没有什么特别的理由不能用不同的估计量来代替它，但请记住，它可能会改变你用来形成置信区间的关键数量的分布。因此，如果您想替换不同的估算器，您需要做的是看看这将如何影响新创建数量的分布。许多方差估计器具有渐近卡方分布（通过 CLT），因此您最终可能会得到相同的分布，因此置信区间的形式也相同，但您仍应检查这一点。$\mu_0 = \mathbb{E}(y(\mathbf{x}_0))$$\hat{\sigma}$$\sigma$