问题：统计学文献中有两种不同的弱大数定律吗？

我发现许多来源声称大数的弱定律需要存在有限的二阶矩，而我知道的结果甚至不需要存在一阶矩。

特别是，我正在争论是否要退回我购买的数理统计教科书，因为如果在名为“弱大数定律”的文献中没有两个不同的结果，那么作者似乎在介绍性方面犯了一个重大错误材料。这大大降低了我对本书其余部分准确性的信心。

背景：在第 1 页。Craig, Hogg, Introduction to Mathematical Statistics 204 ，它说：

... 在更高级的课程中，证明了大数的强定律... 这个定理 [大数的强定律] 的一个结果是我们可以削弱定理 4.2.1 的假设。[大数弱定律] 对随机变量的假设$X_i$是独立的并且每个都有有限的平均值$\mu$. 因此，大数强定律是一阶矩定理，而弱定律则要求存在二阶矩。

此外，Wolfram MathWorld 的大数弱定律页面也声称它需要存在二阶矩，正如CrossValidated 上这个问题中引用的教科书一样。该网页还使用了假设有限方差和均方收敛的证明（这当然意味着概率收敛）。类似的结果，在名称下$L^2$弱定律见第 55 页，Durrett Probability: Theory and Examples的定理 2.2.3 。这些结果比强定律弱，并且在不太一般的条件下得到证明。

然而，对于一个人发现的弱大数定律，例如在维基百科或 Durrett Probability: Theory and Examples，p。60, Theorem 2.2.7., 比二阶矩的存在弱得多的假设，事实上，甚至严格地比一阶矩的存在更弱，是必需的（另见CrossValidated 上的这个答案）：

让$X_1, X_2, \dots,$同住

$$x \mathbb{P}(|X_i|>x) \to 0 \quad as \quad x \to \infty$$ 让$S_n = X_1 + \dots + X_n$然后让$\mu_n = \mathbb{E}[X_1 1_{|X_1| \le n}]$. 然后$S_n/n - \mu_n \to 0$在概率上。

可以看出，这个定理的结论比强数定律要弱，但它的假设也更普遍。

当然，这是人们所期望的——具有较弱结论的定理通常应该在比具有更强结论的定理更一般的条件下可以证明——否则，具有较弱结论的定理将只是具有更强有力的结论，而不是其本身的结果。（再次，请参阅CrossValidated 上的这个问题。）