机器算法验证 - 如何计算E [是1是2∣ |ü1-ü2| <一个]E[Y1Y2∣|U1−U2|<a]为了是一世～N( βü一世,σ2)Yi∼N(βUi,σ2)和ü一世〜U _我是_( 0 , 1 )Ui∼Unif(0,1)? - 吾爱随笔录

如何计算E [是1是2∣ |ü1-ü2| <一个]E[Y1Y2∣|U1−U2|<a]为了是一世～N( βü一世,σ2)Yi∼N(βUi,σ2)和ü一世〜U _我是_( 0 , 1 )Ui∼Unif(0,1)?

机器算法验证贝叶斯数理统计条件概率条件期望

2022-03-31 08:38:00

假设我们有 $U_1, U_2$ 是独立同居 $Unif(0,1)$ 随机变量和那个

Y_{1} \sim N (β U_{1}, σ^{2})

$Y_1\sim N\left(\beta U_1, \sigma^2\right)$

是独立于另一个正态随机变量的正态随机变量：

Y_{2} \sim N (β U_{2}, σ^{2})

$Y_2\sim N\left(\beta U_2, \sigma^2\right)$

对于一个固定的 $\sigma^2$ .

我想知道如何计算条件期望：

E [Y_{1} Y_{2} ∣ | U_{1} - U_{2} | < a]

$\mathbb{E}\left[Y_1Y_2 \mid |U_1-U_2| <a\right]$

鉴于 $Y_1, Y_2, U_1, U_2$ 都是独立的并且 $a < \frac{1}{2}$ ?

1个回答

假设你知道 $U_1$ , $U_2$ , 获取值 $u_1$ , $u_2$ ，分别。那么，由于变量的独立性，

E [Y_{1} Y_{2} | U_{1} = u_{1}, U_{2} = u_{2}] = β^{2} u_{1} u_{2} .

$E[Y_1 Y_2 | U_1 = u_1, U_2 = u_2] = \beta^2 u_1 u_2.$

因此，我们需要计算

\int_{u_{1} = 0}^{1} \int_{u_{2} = u_{1}}^{u_{1} + a} β^{2} u_{1} u_{2} d u_{2} d u_{1} + \int_{u_{2} = 0}^{1} \int_{u_{1} = u_{2}}^{u_{2} + a} β^{2} u_{1} u_{2} d u_{1} d u_{2}

$\int_{u_1 = 0}^1 \int_{u_2 = u_1}^{u_1 + a} \beta^2 u_1 u_2 \text{d} u_2 \text{d} u_1 + \int_{u_2 = 0}^1 \int_{u_1 = u_2}^{u_2 + a} \beta^2 u_1 u_2 \text{d} u_1 \text{d} u_2$

这可以简化为

2 β^{2} \int_{u_{1} = 0}^{1} u_{1} \int_{u_{2} = u_{1}}^{u_{1} + a} u_{2} d u_{2} d u_{1},

$2 \beta^2 \int_{u_1 = 0}^1 u_1 \int_{u_2 = u_1}^{u_1 + a} u_2 \text{d} u_2 \text{d} u_1,$

这很容易计算。

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