通过求解对偶形式的 SVM 的优化问题，结果表明问题对训练数据的依赖性仅通过它们的内积。也就是说，您只需要即，您拥有的所有点对的内积。所以要训练一个 SVM，你只需要给它标签和一个内核矩阵，其中$\{x_i\}_{i=1}^n$$\{x_i^\top x_j\}_{i, j=1}^n$$Y=(y_1, \ldots, y_n)$$K$$K_{ij} = x_i^\top x_j.$

现在要将每个数据点映射到高维空间，您可以应用。所以核矩阵变为$x_i$$\phi(x)$

其中只是一般内积空间中内积的形式符号。可以看出，只要在高维空间中定义一个内积，就可以训练SVM。我们甚至不需要计算本身。我们只需要计算内积。这是我们设置的$\langle ,\rangle$$\phi(x)$$\langle \phi(x_i), \phi(x_j)\rangle$

对于您选择的一些内核。已知（由 Moore-Aronzajn 定理）如果是正定的，则​​它对应于某个内积空间，即存在一个对应的特征映射使得。$k$$k$$\phi(\cdot)$$k(x_i, x_j) = \langle \phi(x_i), \phi(x_j) \rangle$

要回答您的问题，内核没有指定的投影。与指定投影相关联的是（通常是隐式的）。例如，RBF 内核是无限维的。$k(x,y)$$x$$\phi(\cdot)$$k$$\phi$$k(x,y) = \exp(-\gamma \|x-y\|_2^2)$

首先，径向基函数 (RBF) 由，其中 其中是一个正参数。$k\colon\mathcal{X}\times\mathcal{X}\to\Bbb{R}$

在 SVM 中真正有用的是所谓的“内核技巧”。简而言之，您不需要明确知道从原始空间到高维空间的映射（这有时甚至是不可能的）。您真正需要知道的是如何将此映射应用于SVM 公式中存在的因此，如果映射函数为，则内积被转换为形式的内积，由对这些点求值的核函数给出，即 $x_i\cdot x_j$$\phi$$x_i\cdot x_j$$\phi(x_i)\cdot\phi(x_j)$