这看起来像一个标准的异方差模型，我们将异方差视为“老式方式”，即通过将误差方差显式建模为一些其他变量的函数（可能是回归变量本身，也可能不是回归变量）。该模型最简单的形式是加权最小二乘法。

文献中已经检查了各种规格，例如

$$\sigma^2_i = (\mathbf z_i'\alpha)^2,\;\;\;\sigma^2_i = \exp\{\mathbf z_i'\alpha\}, \;\;\;\sigma^2_i = \sigma^2(\mathbf x_i'\beta)^2$$

最后一种情况表明方差与因变量的条件期望值成正比，而在前面的公式中，向量可能包含回归量或其他变量。$\mathbf z$

该模型可以通过两步最小二乘法或最大似然法进行估计——注意未知参数都是通用的，因此我们没有“附带参数”问题。 $\alpha$$i$

这种方法总是存在错误指定的问题，在指定表征异方差的函数形式时几乎肯定会发生这种问题。在 White 的标准误差和“异方差-稳健”方差-协方差矩阵出现之后，使用 OLS 回归的主要问题被清除了，“直接建模”方法的使用明显少于过去，至少在计量经济学。

对我来说，这个问题涉及直接混合模型，其中典型的同质（同方差）误差项（可能）分解为多个级别，并且（可能）使用函数在每个级别进行解释。

例如，假设您有一个如下所示的模型：

(1)$y_{i} = \beta_{0} + \beta_{1}x_{1} + \beta_{2}x_{2} + \varepsilon_{i},$

在哪里，说，$x_{1}$是一些连续的预测器，并且$x_{2}$是一个名义因子（为简单起见）。

现在假设，正如您所建议的那样，$y$取决于$x_{2}$. 您可以修改您的模型，如 (2) 所示：

(2)$y_{i} = \beta_{0} + \beta_{1}x_{1} + \beta_{2}x_{2} + \varepsilon_{i0} + \varepsilon_{i2},$

在哪里：

$\left[\begin{array}{c}\varepsilon_{0,i}\\ \varepsilon_{2,i}\end{array}\right] \sim \mathcal{N}\left(0,\Omega_{\varepsilon}\right):\Omega_{\varepsilon}=\left[\begin{array}{cc}\sigma^{2}_{\varepsilon 0} & \\ 0 & \sigma^{2}_{\varepsilon 2} \end{array}\right]$

（协方差在$\Omega_{\varepsilon}$在这里假设为零，因为你有我假设的因素是相互排斥的类别。如果你对这个假设不满意，并且认为你可以估计一个协方差项，$\sigma_{\varepsilon02}$，继续并包括它。）

如果没有固定效果，您甚至可以使用此模型$x_{2}$上$y$（即如果$x_{2}$只会产生随机效应）。这可以通过让一个接近于零的估计值来隐含地完成$\beta_{2}$成为模型的一部分，如 (2) 所示，或显式如 (3) 所示：

(3)$y_{i} = \beta_{0} + \beta_{1}x_{1} + \varepsilon_{0,i} + \varepsilon_{2,i}.$