好吧，从数学上讲，k-means 簇不是球形的，而是Voronoi 细胞。

但是，该声明并非无效，因为实际数据通常不会填满整个单元格，但如果您采用数据的凸包，它确实在本质上有点球形。

原因可能是当最小化方差（并且 k-means 最小化簇内方差，也就是平方和）时，您确实也最小化了欧几里得距离：平方欧几里得距离是平方和。而且由于平方根不会改变排序（它是单调的！），k-means 的分配规则肯定更喜欢球形簇，隐含地更喜欢欧几里得距离分配。

是的，k-means 可以改变。然后使用具有最大范数的 k-medoids/PAM（不要只是交换范数 - 您可能会失去收敛性。K-medoids/PAM 保证以任意距离收敛！）

尽管如此，结果不会强制执行矩形的簇。它们仍可能以意想不到的方式重叠。结果可能看起来像这样（实际上，旋转了 45 度，但显然这并没有太大改变性质 - 强烈偏好 45 度角）：

这是人们可能认为 k 表示超球面的一种方式。一个点属于以为中心的簇，如果存在半径使得属于以为中心、半径为的球，但不属于以任何 c' 为中心$x$$c \in CENTERS$$r$$x$$c$$r$$r$$c' \neq c \in CENTERS$. 这意味着，直观地说，集群通过在球体中环顾四周来吞噬点。正如在别处所指出的，这并不意味着集群的形状是一个球体，但这是我们为集群中的成员进行离散截止这一事实的产物。如果将未离散的成员分数（基本上只是距离）视为真正感兴趣的度量，那么集群看起来就像一个球，因为所有点的集合至少为 “像”一个集群中心是一个球。$L_2$$l$