按“双重结果”的出现频率划分结果。以此数字为条件，剩余结果的分布在等概率箱中是多项式的。设是同等可能的箱子中没有箱子收到超过结果的机会。因此，寻求的概率等于$x$$0 \le x \le t$$t-x$$n-1$ $p(t-x, n-1, x)$$n-1$$x$

在Exact Tail Probabilities and Percentiles of the Multinomial Maximum中，Anirban DasGupta 指出（在纠正印刷错误后）等于在的展开中的系数（使用他的符号）。对于此处涉及的和的值，该系数最多可以在几秒钟内计算出来（确保在执行获得$p(n,K,x)K^n/n!$$\lambda^n$$\left(\sum_{j=0}^{x}\lambda^j/j!\right)^K$$t$$n$$O(\lambda^{n+1})$$K^{\text{th}}$力量）。（我检查了时间并通过复制 DasGupta 的表 4 更正了拼写错误，该表显示了互补概率，并将其扩展到和均为数百的值。）$1 - p(n,K,x)$$n$$K$

引用 Kolchin等人的定理。远大于的计算密集型情况提供了一个近似值。在精确计算和近似之间，似乎涵盖了所有可能性。$t$$n$

我同意一些评论，因为泊松近似在这里听起来不错（不是“粗略”的近似）。它应该是渐近精确的，并且似乎是最合理的做法，因为精确的解析解似乎很困难。

作为一种中间选择，（如果你真的需要它）我建议我首先按以下方式对泊松近似进行修正（我前段时间做过类似的事情，并且它有效）。

正如评论所建议的那样，如果我们以总和为条件，您的模型是（不是近似而是完全）泊松。那是：

令 (在这里是一个参数) 是独立泊松变量的向量，第一个具有，其他的具有。让，所以。很明显不等同于其他模型（因为我们的模型仅限于），但它是一个很好的近似值。此外，等价于我们的模型。确实，我们可以写$X_t$$t$$n$$\lambda = 2t/(n+1)$$\lambda = t/(n+1)$$s=\sum x$$E(s)=t$$X_t$$s=t$$X_t | s$

$\displaystyle P(X_t) = \sum_s P(X_t | s) P(s)$

这也可以写为考虑的事件（是最大值）。$x_1$

我们知道要计算 LHS 和，但我们对另一个项感兴趣。我们的一阶泊松近似来自假设集中于均值以便它可以被同化为一个 delta，然后$P(s)$$P(s)$$P(X_t) \approx P(X_t | s=t)$

为了改进近似值，我们可以将上述视为两个函数的卷积：我们假设在和准 delta 函数，例如具有小方差的高斯函数。现在，我们有我们的一阶近似（对于连续变量）：$P(X_t | s)$$s=t$

$h(x) = g(x) * N(x_0,\sigma^2)$ (卷积)

$h(x_0) \approx g(x_0) + g(x_0)''\sigma^2/2$

$g(x_0) \approx h(x_0) - h''(x_0)''\sigma^2/2$

将此应用于前面的等式可以导致对我们所需概率的精确近似。

只是一个解释：部分出于好奇，部分是因为缺乏更好的理论方法，我以完全经验/归纳的方式解决了这个问题。我知道在没有获得太多洞察力的情况下陷入死胡同的风险，但我想，无论如何我都会展示我到目前为止所得到的东西，以防它对某人有用。

从计算的精确概率开始，我们得到$n,t\in\{1,...,8\}$

由于潜在的多项分布，将表中的条目乘以会得到一个纯整数表：$(n+1)^t$

现在我们发现在中对于每一列都有一个多项式作为该列的序列函数：$n$

将序列函数除以为我们提供了第一个的原始概率的序列函数。这些有理多项式可以通过将它们分解为部分分数并用代替来简化，给我们留下：$(n+1)^t$$t$$x$$1/(n+1)$

或作为系数表

从列开始，这些系数又有序列函数：$x^2$

我就是这么走的。这里肯定有允许序列函数发生的可利用模式，但我不确定这些序列函数是否有一个很好的封闭形式解决方案。