我为此写了一篇论文。它的早期版本在 arxiv 上：https ://arxiv.org/abs/2003.08449 （编辑：完整发布的版本现在可以在此处开放访问：https ://journals.sagepub.com/doi/full/10.1177 /0962280221995963）。

在某些情况下，它的短处是肯定的。也就是说，模型中必须已经存在一些偏差。如果您的模型已经存在偏差，则可以通过添加变量来增加偏差。

例如，假设我们对某种处理对结果的影响感兴趣。为简单起见，假设这种效应只是回归系数。偏差将与此参数有关。增加 \beta 估计偏差的最简单方法添加变量来解释治疗中的大部分变化（）和结果中的极小变化（），除了通过当然。$A$$Y$$\beta$$\beta$$\hat{\beta}$$A$$Y$$A$

发生这种情况的原因是由于最小二乘的几何形状。根据 FWL 定理，我们总是可以将多元回归的估计视为等同于以下简单回归的估计：

1. 对所有控制变量的回归结果的残差和$Y$

2. 对所有控制变量的回归的处理残差$A$

假设我们有一个仅通过产生影响的变量（工具变量）并且没有交互作用。当我们将此变量添加到回归中时，旧估计相对于事实的任何方向都会被放大（请参见上述论文中的图 4 中的图表）。$Y$$A$

一般来说，一个变量可能会导致偏差放大，即使它确实解释了结果的某些方差，而不是通过处理。在这些情况下，包含一个变量是一种权衡。通过包含它，您消除了排除所述变量的偏差，但您也放大了剩余偏差的偏差。到底有没有偏置放大，要看哪个效果更强。在极端情况下，尤其是那些已经有大量控制变量的情况下，放大效应往往会占主导地位，因为放大效应是双曲线的并且总是在同一个方向上。另一方面，消除遗漏变量偏差的效果在这些设置中是线性的，并且可能朝任一方向发展。

有一小部分文献研究了这些影响。最初研究纯仪器的两个是

i) Pearl (2011) https://ftp.cs.ucla.edu/pub/stat_ser/r386.pdf
ii) Wooldridge (2006) http://econ.msu.edu/faculty/wooldridge/docs/treat1r6.pdf

但此后已扩展到更广泛的模型类别和更灵活的条件。

关于偏差方差权衡的观点。在大多数情况下，不幸的是，当您有偏差放大时，方差也会增加。