机器算法验证 - 二维最小足够统计量ü( - k θ + k , k θ + k )U(−kθ+k,kθ+k) - 吾爱随笔录

二维最小足够统计量ü( - k θ + k , k θ + k )U(−kθ+k,kθ+k)

机器算法验证自习数理统计均匀分布充分统计

2022-03-20 14:11:03

从独立随机变量 ,找到的二维最小充分统计量 $\theta$ $n$ $X_k\sim > U(-k\theta+k,k\theta+k)$ $k\in\{1,\cdots,n\}$

这是我尝试过的。

X 的 pdf 为这意味着或等效。我得到的是作为最小值足够的统计。但是，我不确定这是否正确，问题是应该有一个二维最小统计量。

δ_{θ} (x) = \prod_{i = 1}^{n} \frac{1}{2 k θ} 1_{(1 - θ) k \leq x_{k} \leq (1 + θ) k} .

$\delta_\theta(x)=\prod_{i=1}^n\frac{1}{2k\theta}\mathbb{1}_{(1-\theta)k\leq x_k\leq(1+\theta)k}.$

θ \geq max {1 - \frac{x_{k}}{k}, \frac{x_{k}}{k} - 1}, \forall k \in {1, \dots, n}

$\theta\ge\max\{1-\frac{x_k}{k},\frac{x_k}{k}-1\},\quad\forall k\in\{1,\cdots,n\}$

| \frac{x_{k}}{k} - 1 | \leq θ, \forall k \in {1, \dots, n}

$|\frac{x_k}{k}-1|\leq\theta,\quad\forall k\in\{1,\cdots,n\}$

max_{k \in {1, \dots, n}} {| \frac{x_{k}}{k} - 1 |}

$\underset{k\in\{1,\cdots,n\}}{\max}\left\{|\frac{x_k}{k}-1|\right\}$

--Update 问题本身总是有可能是错误的，即没有 2-dim 最小足够统计量。如果是这样，如何反驳呢？

1个回答

您自己尝试的答案错误地将视为固定值，而不是索引。这给你一个不正确的似然函数，这意味着你的后续工作也是不正确的。我们首先观察事件等价性： $k$

- θ k + k ⩽ x_{k} ⩽ θ k + k ⟺ | \frac{x_{k}}{k} - 1 | ⩽ θ,

$-\theta k + k \leqslant x_k \leqslant \theta k + k \quad \quad \quad \iff \quad \quad \quad \Big| \frac{x_k}{k} - 1 \Big| \leqslant \theta,$

这意味着正确的似然函数是：

\begin{aligned} L_{θ} (x_{n}) & = \prod_{k = 1}^{n} \frac{1}{2 k θ} \cdot I (θ k - k ⩽ x_{k} ⩽ θ k + k) \\ = \prod_{k = 1}^{n} \frac{1}{2 k θ} \cdot I (θ ⩾ | \frac{x_{k}}{k} - 1 |) \\ = \frac{1}{(2 θ)^{n} n!} \cdot I (θ ⩾ max_{k} | \frac{x_{k}}{k} - 1 |) . \end{aligned}

$\begin{align} L_\theta(\mathbf{x}_n) &= \prod_{k=1}^n \frac{1}{2k\theta} \cdot \mathbb{I}(\theta k - k \leqslant x_k \leqslant \theta k + k) \\[6pt] &= \prod_{k=1}^n \frac{1}{2k\theta} \cdot \mathbb{I} \Bigg( \theta \geqslant \Big| \frac{x_k}{k} - 1 \Big| \Bigg) \\[6pt] &= \frac{1}{(2\theta)^n n!} \cdot \mathbb{I} \Bigg( \theta \geqslant \max_k \Big| \frac{x_k}{k} - 1 \Big| \Bigg). \\[6pt] \end{align}$

的最小足够统计量是： $\theta$

max_{k} | \frac{x_{k}}{k} - 1 | .

$\max_k \Big| \frac{x_k}{k} - 1 \Big| .$

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