如果残差不正常（并注意这适用于理论残差而不是观察到的残差），但没有过度偏斜或带有异常值，则应用中心极限定理并推断斜率（t 检验、置信区间）将大致正确。近似的质量取决于样本大小以及残差中非正态性的程度和类型。

CLT 适用于斜率推断，但不适用于新数据的预测区间。

如果您对 CLT 论点不满意（样本量小、偏度、只是不确定、想要第二意见、想要说服怀疑者等），那么您可以使用不依赖于正态假设的引导或排列方法。

如果误差不是正态分布的，则可以使用渐近结果。假设你的模型是

$$y_i=x_i'\beta+\varepsilon_i$$

在哪里$(y_i,x_i',\varepsilon_i)$,$i=1,...,n$是一个独立同分布的样本。认为

$$\begin{align*} E(\varepsilon_i|x_i)&=0 \\ E(\varepsilon_i^2|x_i)&=\sigma^2 \end{align*}$$

和

$$rank(Ex_ix_i')=K,$$

在哪里$K$是系数的数量。然后通常的OLS估计$\hat\beta$是渐近正态的：

$$\sqrt{n}(\hat\beta-\beta)\to N(0,\sigma^2E(x_ix_i'))$$

这个结果的实际含义是通常的 t 统计量变成了 z 统计量，即它们的分布是正态分布而不是学生分布。因此，您可以像往常一样解释 t 统计量，只应针对正态分布调整 p 值。

请注意，由于此结果是渐近的，因此不适用于小样本量。使用的假设也可以放宽。