认为$X\sim N(\mu, \sigma^2)$带 CDF$\Phi(\cdot; \mu, \sigma^2)$. 然后你可以计算概率$p$那$X>0$，通过取

$$p = 1- \Phi(0; \mu, \sigma^2)$$

然后$Y:=\min\{0,X\}$是一个混合物之间

• 一个点质量在$0$有重量$p$
• 和带参数的截断正态分布$\mu$和$\sigma^2$，从上面截断在$0$, 有重量$(1-p)$.

这也称为“删失正态分布”。您可能对以前标记为 "censoring" 和 "normal-distribution" 的主题感兴趣。在多维情况下，我们有一个关于均值和方差的线索。

我们对分布有一个简单的答案$\min(0,X)$对于任何随机变量$X$就其分布功能而言。

认为$Y=\min(0,X)$. 那是，

$$Y=\begin{cases}X&,\text{ if }X\le 0\\0&,\text{ if }X>0\end{cases}$$

琐碎地，一个情节$y=\min(0,x)$真正的$x$看起来像

那么分布函数（DF）的$Y$简直就是

$$P(Y\le y)=\begin{cases}P(X\le y)&,\text{ if }y<0\\1&,\text{ if }y\ge 0\end{cases}$$

为了$X\sim\mathcal N(\mu,\sigma^2)$，我们得到

$$\begin{align} P(Y\le y)=\begin{cases}\Phi\left(\frac{y-\mu}{\sigma}\right)&,\text{ if }y<0\\1&,\text{ if }y\ge 0\end{cases} \end{align}$$

， 在哪里$\Phi$像往常一样是标准正态分布的 DF。

如前所述，$Y$具有混合分布，因为它包含质点$0$为了$X>0$以及有一个连续的部分$X\le 0$.