我还没有完全内化矩阵干扰的问题，但这是一种方法。让：

$Y$是一个向量，表示未稀释样品中所有目标化合物的浓度。

$Z$是稀释样本中的对应向量。

$d$是稀释因子，即样品被稀释$d$：1。

我们的模型是：

$Y \sim N(\mu,\Sigma)$

$Z = \frac{Y}{d} + \epsilon$

在哪里$\epsilon \sim N(0,\sigma^2\ I)$表示由于稀释误差引起的误差。

因此，可以得出以下结论：

$Z \sim N(\frac{\mu}{d}, \Sigma + \sigma^2\ I)$

表示上述分布$Z$经过$f_Z(.)$.

让$O$是观察到的浓度和$\tau$表示测试仪器的阈值，低于该阈值它不能检测到化合物。那么，对于$i^{th}$我们有的化合物：

$O_i = Z_i I(Z_i > \tau) + 0 I(Z_i \le \tau)$

不失一般性，让第一个$k$化合物应低于阈值。那么似然函数可以写成：

$L(O_1, ... O_k, O_{k+1},...O_n |- ) = [\prod_{i=1}^{i=k}{Pr(Z_i \le \tau)}] [\prod_{i=k+1}^{i=n}{f(O_i |-)}]$

在哪里

$f(O_i |-) = \int_{j\neq i}{f_Z(O_i|-) I(O_i > \tau)}$

估计是使用最大似然或贝叶斯思想的问题。我不确定上面的内容有多容易处理，但我希望它能给你一些想法。

另一个计算效率更高的选择是使用称为“二分高斯”的模型通过矩匹配来拟合协方差矩阵，实际上只是一个高斯 copula 模型。

Macke 等人 2010 年最近发表的一篇论文描述了一种用于拟合该模型的封闭形式程序，该程序仅涉及（删失的）经验协方差矩阵和一些双变量正态概率的计算。同一组（MPI Tuebingen 的 Bethge 实验室）也描述了混合离散/连续高斯模型，这可能是您想要的（即，因为高斯 RV 没有完全“二分法”——只有那些低于阈值的模型）。

至关重要的是，这不是ML 估计器，恐怕我不知道它的偏差属性是什么。

您的样品中有多少种化合物？（或者，有问题的协方差矩阵有多大？）。

Alan Genz 用各种语言（R、Matlab、Fortran；参见此处）编写了一些非常好的代码，用于计算超矩形上的多元正态密度的积分（即评估可能性所需的积分类型，如用户 28)。

我已经将这些函数（“ADAPT”和“QSIMVN”）用于大约 10-12 维的积分，并且该页面上的几个函数宣传积分（以及您可能需要的相关导数）以解决高达 100 维的问题。我不'不知道这是否足以满足您的目的，但如果是这样，它可能允许您通过梯度上升找到最大似然估计。